Determine quais dos seguintes enunciados são verdadeiros e quais são falsos, argumentando as suas respostas.
nenhuma função par é invertível.
nenhuma função par é invertível.
Passo 1
O enunciado afirma: “nenhuma função par é invertível”. Aqui o conteúdo é função par e invertibilidade. Vamos precisar das definições de função par (sobre domínio simétrico) e de função invertível (bijetora).
Passo 2
Uma função
é dita par se o domínio
é simétrico em relação a zero (isto é,
) e
Passo 3
Uma função é invertível quando é bijetora, isto é, é ao mesmo tempo injetiva (elementos distintos do domínio dão imagens distintas) e sobrejetiva (atinge todos os valores do contradomínio).
Passo 4
Se
contém algum
, então por paridade
logo
não é injetiva e, portanto, não pode ser invertível.
Passo 5
Porém, existe um contraexemplo trivial: tome
Então
é simétrico (
),
mostra que
é par, e como há só um elemento,
é claramente bijetora. Assim
é um exemplo de função par invertível.
Resposta
A afirmação é falsa.