Determine quais dos seguintes enunciados são verdadeiros e quais são falsos, argumentando as suas respostas.
nenhuma função par é invertível.

Passo 1

O enunciado afirma: “nenhuma função par é invertível”. Aqui o conteúdo é função par e invertibilidade. Vamos precisar das definições de função par (sobre domínio simétrico) e de função invertível (bijetora).

Passo 2

Uma função f\colon D\to\mathbb{R} é dita par se o domínio D é simétrico em relação a zero (isto é, x\in D\implies -x\in D) e
f(-x)=f(x) \quad\text{para todo }x\in D.

Passo 3

Uma função é invertível quando é bijetora, isto é, é ao mesmo tempo injetiva (elementos distintos do domínio dão imagens distintas) e sobrejetiva (atinge todos os valores do contradomínio).

Passo 4

Se D contém algum a\neq 0, então por paridade
f(a)=f(-a),
logo f não é injetiva e, portanto, não pode ser invertível.

Passo 5

Porém, existe um contraexemplo trivial: tome
D=\{0\}, \quad f\colon\{0\}\to\{c\}, \quad f(0)=c.
Então D é simétrico ( -0=0), f(-0)=f(0) mostra que f é par, e como há só um elemento, f é claramente bijetora. Assim f é um exemplo de função par invertível.

Resposta

A afirmação é falsa.

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