Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto (1,2).
d yd x=-a x+b yb x+c y

Passo 1

Temos a equação diferencial
dydx=-a x+b yb x+c y
Queremos ver se ela é exata. Para isso reescrevemos na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Multiplicando ambos os lados por b x + c y e passando tudo para o mesmo lado, obtemos
(b x + c y),dy -(-a x + b y),dx = 0 Longrightarrow (a x - b y),dx + (b x + c y),dy = 0
Então
M(x,y)=a x - b y, N(x,y)=b x + c y
Para ser exata, deve valer partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =partialpartial y(a x - b y) =-b, partial Npartial x =partialpartial x(b x + c y) =b
Como -bneq b em geral, a equação só é exata se
-b = b Longrightarrow b=0

Passo 3

No caso b=0, temos
M(x,y)=a x, N(x,y)=c y,
e a equação exata
a x,dx + c y,dy = 0
Buscamos uma função potencial Phi(x,y) tal que
partial Phipartial x=a x, partial Phipartial y=c y

Passo 4

Integramos partial Phi/partial x = a x em relação a x:
Phi(x,y)=integral a x,dx = a x^22 + h(y)
Agora impomos partial Phi/partial y = c y:
partialpartial yl(a x^22 + h(y)r) = h'(y) = c y Longrightarrow h(y)=c y^22
Logo
Phi(x,y)=a x^22 + c y^22

Passo 5

A solução geral é dada por
Phi(x,y)=a x^22 + c y^22 =K,
ou seja
a x^2 + c y^2 = 2K,
mas podemos reescrever 2K como outra constante C. Assim
boxeda x^2 + c y^2 = C

Passo 6

Para achar a solução particular que passa por (1,2), impomos
acdot1^2 + ccdot2^2 = C Longrightarrow a + 4c = C
Logo a solução particular é
boxeda x^2 + c y^2 = a + 4c

Resposta

A equação só é exata se b=0. Nesse caso a solução geral é
a x^2 + c y^2 = C
e a solução particular com (x,y)=(1,2) é
a x^2 + c y^2 = a + 4c

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