Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto
.
Passo 1
Temos a equação diferencial
Queremos ver se ela é exata. Para isso reescrevemos na forma
Multiplicando ambos os lados por
e passando tudo para o mesmo lado, obtemos
Então
Para ser exata, deve valer
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação só é exata se
Passo 3
No caso
, temos
e a equação exata
Buscamos uma função potencial
tal que
Passo 4
Integramos
em relação a
:
Agora impomos
:
Logo
Passo 5
A solução geral é dada por
ou seja
mas podemos reescrever
como outra constante
. Assim
Passo 6
Para achar a solução particular que passa por
, impomos
Logo a solução particular é
Resposta
A equação só é exata se
. Nesse caso a solução geral é
e a solução particular com
é