Esboce a região de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} \operatorname{sen} y d y d x
\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} \operatorname{sen} y d y d x
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração
e depois calcular esse integral dupla. O conteúdo envolve integrais impróprias e, para avaliar, vamos primeiro integrar em
e depois estudar a convergência da integral em
.
Passo 2
A região de integração
no plano
é dada por
Para esboçá-la, trace o eixo
e o eixo
; depois marque a reta
. A região fica abaixo dessa reta e acima do eixo
, estendendo-se indefinidamente para a direita.
Passo 3
Calcule a integral interna em
:
Logo a integral dupla torna-se
Passo 4
Examine a convergência de
Para
,
Passo 5
Ao fazer
, o termo
cresce sem limite, enquanto
fica preso entre
e
. Portanto
o que mostra que a integral diverge.
Resposta
A integral dupla diverge (vale
).