Esboce a região de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{x} \operatorname{sen} y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração
integral0^inftyintegral0^xsin y,dy,dx
e depois calcular esse integral dupla. O conteúdo envolve integrais impróprias e, para avaliar, vamos primeiro integrar em y e depois estudar a convergência da integral em x.

Passo 2

A região de integração D no plano (x,y) é dada por
D = (x,y)mid 0 <= x < infty,;0 <= y <= x
Para esboçá-la, trace o eixo x>=0 e o eixo y>=0; depois marque a reta y=x. A região fica abaixo dessa reta e acima do eixo x, estendendo-se indefinidamente para a direita.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
I(x)=integral0^xsin y,dy =l[-cos yr]0^x =1-cos x
Logo a integral dupla torna-se
integral0^inftyl(1-cos xr),dx

Passo 4

Examine a convergência de
integral0^inftyl(1-cos xr),dx
Para b>0,
integral0^b(1-cos x),dx =l[x-sin xr]0^b =b-sin b

Passo 5

Ao fazer btoinfty, o termo b cresce sem limite, enquanto sin b fica preso entre -1 e 1. Portanto
limbtoinftyl(b-sin br)=+infty,
o que mostra que a integral diverge.

Resposta

A integral dupla diverge (vale +infty).

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