Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Definem-se como segue as potências de A:
A^0=I, onde I é a matriz identidade de ordem n
A^1=A,
A^n=A^n-1 cdot A, para todo natural n >= 2.
Ache uma matriz triangular superior mathrmA=(ll mathrma & mathrmb 0 & mathrmc) tal que mathrmA^3=(cc 8 & -57 0 & 27).

Passo 1

O enunciado pede que a matriz triangular superior
A = a & b [6pt]0 & c
satisfaça
A^3 = 8 & -57 [3pt]0 & 27
O conteúdo aqui é potência de matrizes triangulares, em que as entradas da diagonal se elevam às potências e o elemento fora da diagonal segue uma soma de termos controlada por a, b e c.]

Passo 2

Como A é triangular, as entradas diagonais de A^3 são
a^3 = 8, c^3 = 27
Resolvendo cada uma, obtemos
a = 2, c = 3

Passo 3

Para o termo (1,2) de A^3, calculamos primeiro
A^2 = a^2 & b,(a+c) [3pt]0 & c^2,
de modo que
A^3 = A^2 cdot A = a^2 & b,(a+c) [3pt]0 & c^2 a & b [3pt]0 & c = a^3 & b,(a^2 + a,c + c^2) [3pt]0 & c^3
]

Passo 4

Substituindo a=2 e c=3 na expressão do elemento (1,2), temos
a^2 + a,c + c^2 = 4 + 6 + 9 = 19,
e da condição
b cdot 19 = -57
vem
b = -3

Resposta

A matriz que satisfaz A^3 = 8 & -57 [3pt]0 & 27 é
A = 2 & -3 [3pt]0 & 3
]

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