Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Definem-se como segue as potências de A: , onde I é a matriz identidade de ordem , , para todo natural .
Ache uma matriz triangular superior tal que mathrmA^3=(cc 8 & -57 0 & 27).
Passo 1
O enunciado pede que a matriz triangular superior
A = a & b [6pt]0 & c
satisfaça
A^3 = 8 & -57 [3pt]0 & 27
O conteúdo aqui é potência de matrizes triangulares, em que as entradas da diagonal se elevam às potências e o elemento fora da diagonal segue uma soma de termos controlada por a, b e c.]
Passo 2
Como A é triangular, as entradas diagonais de A^3 são
a^3 = 8, c^3 = 27
Resolvendo cada uma, obtemos
a = 2, c = 3
Passo 3
Para o termo (1,2) de A^3, calculamos primeiro
A^2 = a^2 & b,(a+c) [3pt]0 & c^2,
de modo que
A^3 = A^2 cdot A = a^2 & b,(a+c) [3pt]0 & c^2 a & b [3pt]0 & c = a^3 & b,(a^2 + a,c + c^2) [3pt]0 & c^3
]
Passo 4
Substituindo a=2 e c=3 na expressão do elemento (1,2), temos