Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto (1,2).
(2 x+4 y) d x+(2 x-2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x+4y),dx + (2x-2y),dy = 0
e pede para verificar se ela é exata. Se for exata, encontrar a solução geral Phi(x,y)=C e a solução particular que passa por (1,2). Lembra que uma equação M(x,y),dx + N(x,y),dy=0 é exata se
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2x+4y, N(x,y)=2x-2y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =4, partial Npartial x =2
Como 4neq2, a condição de exatidão não se verifica.

Resposta

A equação diferencial não é exata, pois partial M/partial y neq partial N/partial x. Não há, portanto, solução via potencial Phi(x,y) sem antes encontrar um fator integrante.

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