Esboce a região de integração e calcule a integral.
\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x, y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração e avaliar a integral dupla
integral duplaR x,y,d y,d x
onde
R = (x,y)mid 0<= x<infty,;0<= y<infty
O conteúdo envolve interpretação da região no plano xy e cálculo de integral imprópria.

Passo 2

A região R é o primeiro quadrante inteiro no plano xy. Num esboço, basta desenhar os eixos x e y e sombrear toda a área para x>=0 e y>=0.

Passo 3

Para avaliar a integral, escrevemos como iterada usando Fubini (a função é não-negativa, então podemos trocar a ordem):
integral duplaR x,y,d y,d x = integral0^infty!l(integral0^infty x,y,d yr)d x
No interior, x é constante em relação a y, então
integral0^infty x,y,d y = x integral0^infty y,d y = x ,limMtoinftyM^22 = xcdotinfty = infty
Assim a integral interna já diverge, e portanto toda a integral dupla é infinita.

Resposta

A região de integração é o primeiro quadrante x>=0,y>=0, e
a integral diverge (é infinita).

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