Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto (1,2).
(3 x^2-2 x y+2) d x+(6 y^2-x^2+3) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(3x^2-2xy+2r),dx+l(6y^2-x^2+3r),dy=0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral e a solução particular que passa por (1,2). Vamos usar o teste de exatidão para equações da forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=3x^2-2xy+2, N(x,y)=6y^2-x^2+3
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=-2x, partial Npartial x=-2x,
logo partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
psix = M
Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(3x^2-2xy+2r),dx = x^3-x^2y+2x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos psiy=N. Calculamos
psiy = -x^2 + h'(y),
e impomos
-x^2 + h'(y)=6y^2-x^2+3 ;Longrightarrow; h'(y)=6y^2+3 ;Longrightarrow; h(y)=2y^3+3y

Passo 5

Assim, a função potencial completa é
psi(x,y)=x^3-x^2y+2x+2y^3+3y
A solução geral implícita é
psi(x,y)=C, ou seja x^3-x^2y+2x+2y^3+3y=C

Passo 6

Para achar a constante C que atende a condição inicial (x,y)=(1,2), calculamos
psi(1,2)=1^3-1^2cdot2+2cdot1+2cdot2^3+3cdot2 =1-2+2+16+6=23
Logo, para a solução particular C=23.

Resposta

Solução geral:
x^3-x^2y+2x+2y^3+3y=C
Solução particular que passa por (1,2):
x^3-x^2y+2x+2y^3+3y=23

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