Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral e a solução particular que passa por
. Vamos usar o teste de exatidão para equações da forma
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para encontrar
, usamos
. Calculamos
e impomos
Passo 5
Assim, a função potencial completa é
A solução geral implícita é
Passo 6
Para achar a constante
que atende a condição inicial
, calculamos
Logo, para a solução particular
.
Resposta
Solução geral:
Solução particular que passa por
: