Mostre que os limites não existem:
lim x 0 |sen(x)|x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto 0|sin(x)|x
não existe.
O conteúdo envolvido é o cálculo de limites laterais e o uso da definição de valor absoluto para sin(x). Vamos comparar o limite pela direita ( xto0^+) e pela esquerda ( xto0^-).

Passo 2

Análise do limite pela direita ( xto0^+):
Para x>0 e próximo de zero, sin(x)>=0, logo |sin(x)|=sin(x). A expressão torna-se
|sin(x)|x=sin(x)x
Sabemos que
limxto0sin(x)x=1,
portanto
limxto0^+|sin(x)|x=1

Passo 3

Análise do limite pela esquerda ( xto0^-):
Para x<0 e próximo de zero, sin(x)<=0, logo |sin(x)|=-sin(x). Assim
|sin(x)|x=-sin(x)x=-sin(x)x
Como limxto0sin(x)x=1, segue que
limxto0^-|sin(x)|x=-1

Passo 4

Os limites laterais são diferentes ( 1 e -1). Pela definição de limite, se as duas padronais não coincidirem, o limite geral não existe.

Resposta

O limite limxto0|sin(x)|x não existe.

Exercícios relacionados