Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral e a solução particular que passa por
. Para isso vamos usar o teste de exatidão
e, sendo exata, construir uma função potencial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
logo
e a equação é exata.
Passo 3
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para encontrar
, usamos
Assim
e, integrando,
(constante absorvida em
).
Passo 5
A função potencial completa é
e a solução geral implícita é
Passo 6
Para a condição inicial
temos
Logo a solução particular é
Resposta
Solução geral:
Solução particular com
: