Determine quais das seguintes equações diferenciais são exatas e caso seja, determine a solução geral e a solução particular que pasa pelo ponto (1,2).
(yx+6 x)+(ln x-2) d yd x=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
l(yx+6xr)+l(ln x-2r)dydx=0
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a solução geral e a solução particular que passa por (1,2). Para isso vamos usar o teste de exatidão M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e, sendo exata, construir uma função potencial Psi(x,y).

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=yx+6x, N(x,y)=ln x-2
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y=1x, partial Npartial x=1x,
logo partial M/partial y=partial N/partial x e a equação é exata.

Passo 3

Como é exata, existe Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=M(x,y)
Integramos M em relação a x:
Psi(x,y)=integrall(yx+6xr),dx = yln x+3x^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), usamos
partial Psipartial y =ln x + h'(y) stackrel!=N(x,y)=ln x-2
Assim h'(y)=-2 e, integrando, h(y)=-2y (constante absorvida em C).

Passo 5

A função potencial completa é
Psi(x,y)=yln x+3x^2-2y,
e a solução geral implícita é
yln x -2y +3x^2 = C

Passo 6

Para a condição inicial (x,y)=(1,2) temos
2ln1 -2cdot2 +3cdot1^2 = C Longrightarrow 0 -4 +3 = C Longrightarrow C=-1
Logo a solução particular é
yln x -2y +3x^2 = -1

Resposta

Solução geral:
yln x -2y +3x^2 = C
Solução particular com y(1)=2:
yln x -2y +3x^2 = -1

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