Mostre que os limites não existem:
lim x 0 |x^2-2 x|x

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 0l|x^2-2xr|x
Para estudar esse limite vamos usar duas ideias: (i) a definição de valor absoluto em termos de caso x>0 e x<0; (ii) o fato de que o limite bilateral existe só se os limites laterais xto0^+ e xto0^- coincidirem.

Passo 2

Para x>0 perto de zero temos
|x^2-2x| = |x|;l|x-2r| = x;l|x-2r|
Como para |x| pequeno x<2, vale l|x-2r|=2-x. Logo
|x^2-2x|x = x,(2-x)x =2 - x Longrightarrow limxto0^+|x^2-2x|x=2

Passo 3

Para x<0 perto de zero temos |x|=-x, de modo que
|x^2-2x| = |x|;l|x-2r| = (-x),(2 - x)
e portanto
|x^2-2x|x = -x,(2-x)x =-(2 - x) Longrightarrow limxto0^-|x^2-2x|x=-2

Passo 4

Os limites laterais são diferentes:
limxto0^+(dots)=2 e limxto0^-(dots)=-2. Como não coincidem, o limite bilateral não existe.

Resposta

O limite limxto0l|x^2-2xr|x não existe.

Exercícios relacionados