Seja A=(aij) uma matriz quadrada de ordem n . O traço de A, denotado por tr(A), é a soma dos elementos da diagonal principal de A , isto é, tr(A)=a11+a22+ldots+ann. Dadas as matrizes A=(ccc1 & 3 & 6 2 & -5 & 8 4 & -2 & 7) e B=(ccc0 & -2 & 2 -1 & 5 & 4 3 & -1 & 7), verifique que:
tr(A)=tr(A^t)

Passo 1

O enunciado define o traço de uma matriz quadrada A=(aij) de ordem n como
tr(A)=a11+a22+cdots+ann,
e pede para verificar que tr(A)=tr(A^t).

Passo 2

Calcular tr(A) somando os elementos da diagonal principal de
A= 1 & 3 & 6 2 & -5 & 8 4 & -2 & 7
Logo,
tr(A)=1+(-5)+7=3

Passo 3

Observar que a transposta A^t troca linhas por colunas, mas seus elementos da diagonal permanecem os mesmos, ou seja,
A^t= 1 & 2 & 4 3 & -5 & -2 6 & 8 & 7
tem diagonal (1,,-5,,7), igual à de A.

Passo 4

Calcular tr(A^t) somando esses mesmos três elementos:
tr(A^t)=1+(-5)+7=3

Passo 5

Concluir que, de fato,
tr(A)=3=tr(A^t),
confirmando a propriedade pedida.

Resposta

tr(A)=tr(A^t)=3.

Exercícios relacionados