Esboce a região de integração e calcule a integral.
\int_{1}^{2} \int_{y}^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
integral1^2integraly^2dx,dy
e pede para esboçar a região de integração e calcular o valor da integral. O conteúdo aqui é interpretação de domínio no plano (x,y) e cálculo de integral iterada.

Passo 2

O domínio de integração é dado por
R=(x,y)mid 1<= y<=2,;y<= x<=2
No plano (x,y) isso forma um triângulo com vértices em (1,1), (2,1) e (2,2), limitado pelas retas y=1, x=2 e x=y.

Passo 3

Integramos primeiro em x, tratando y como constante:
integralx=y^2dx=l[xr]x=y^2=2-y

Passo 4

Agora integramos em y:
integraly=1^2(2-y),dy =l[2y-y^22r]1^2 =l(4-2r)-l(2-tfrac12r) =2-tfrac32 =tfrac12

Resposta

12

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