Determine quais das seguintes equações diferenciais são homogêneas. Justifique sua resposta.
d yd x=x^2+3 y3 x+y

Passo 1

O enunciado pede para testar se a equação diferencial de primeira ordem
dydx=x^2+3y3x+y
é homogênea, ou seja, se a função do lado direito satisfaz
f(lambda x,lambda y)=f(x,y)
equivalente a depender apenas da razão y/x.

Passo 2

Definimos
f(x,y)=x^2+3y3x+y
Para ser homogênea, ao substituir (x,y)to(lambda x,lambda y), deve-se ter
f(lambda x,lambda y)=(lambda x)^2+3(lambda y)3(lambda x)+(lambda y)=lambda^2x^2+3lambda ylambda(3x+y)

Passo 3

Agora separamos os termos:
f(lambda x,lambda y)=lambda^2x^2lambda(3x+y)+3lambda ylambda(3x+y)=lambdax^23x+y+3y3x+y
Perceba que isso não coincide com
x^2+3y3x+y=f(x,y),
ou seja, há um termo multiplicado por lambda e um termo sem lambda.

Passo 4

Como o resultado da escala não é igual a f(x,y) e não se reduz a uma função de y/x, concluímos que a equação não é homogênea.

Resposta

A equação dy/dx=(x^2+3y)/(3x+y) não é homogênea.

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