(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).
(b) Utilize a fórmula kappa(t)=mid T^prime(t)|r^prime(t)| para encontrar a curvatura.
r(t)=(t, 3 cos t, 3 sin t)

Passo 1

Neste exercício vamos trabalhar com vetores de espaço e derivadas de uma curva paramétrica. O objetivo é encontrar o vetor tangente unitário T(t), o vetor normal unitário N(t) e a curvatura kappa(t). Para isso precisamos usar derivadas de r(t), normas de vetores e as definições:
  • T(t)=r'(t)|r'(t)|.
  • N(t)=T'(t)|T'(t)|.
  • kappa(t)=|T'(t)||r'(t)|.

Passo 2

Calcular r'(t) e sua norma. Derivando cada componente temos:
r'(t) = (1, -3sin t, 3cos t)
A norma é
|r'(t)| = raiz1 + 9sin^2 t + 9cos^2 t = raiz10

Passo 3

Determinar o vetor tangente unitário usando T(t)=r'(t)|r'(t)|:
T(t) = 1raiz10(1, -3sin t, 3cos t)

Passo 4

Calcular a derivada de T(t):
T'(t) = l(0, -3cos traiz10, -3sin traiz10r)
A norma de T'(t) é
|T'(t)| = raiz0 + 9cos^2 t10 + 9sin^2 t10 = 3raiz10
Assim o vetor normal unitário é
N(t) = T'(t)|T'(t)| = (0, -cos t, -sin t)

Passo 5

Usar a fórmula da curvatura kappa(t)=|T'(t)||r'(t)|. Substituindo:
kappa(t) = 3/raiz10raiz10 = 310

Resposta

T(t)=1raiz10(1, -3sin t, 3cos t), N(t)=(0, -cos t, -sin t), kappa(t)=310.

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