Resolva o problema de valor inicial dado.
u^3 d v=2 v^3 d u-2 v^2 u d v, u(1)=raiz2

Passo 1

O enunciado nos dá uma relação diferencial entre as variáveis u e v:
nu^3,dv = 2v^3,du - 2v^2u,dv
Precisamos reconhecer que isso é uma equação diferencial implícita e vai exigir técnicas de fator integrante e exatidão.

Passo 2

Para colocar no formato
M(u,v),du + N(u,v),dv = 0
reorganizamos:
$$\nu^{3},dv + 2v^{2}u,dv - 2v^{3},du = 0
nu^3,dv + 2v^2u,dv - 2v^3,du = 0 M(u,v) = -2v^{3},\quad N(u,v) = u^{3} + 2u v^{2}.
$$

Passo 3

Verificamos se é exata, calculando
$$\frac{\partial M}{\partial v} = -6v^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial u} = 3u^{2} + 2v^{2}.
$$
Como não batem, buscamos um fator integrante do tipo partial Mpartial v = -6v^2, partial Npartial u = 3u^2 + 2v^2 .

Passo 4

Impondo a condição de exatidão em mu M e mu N encontramos
$$a=-3,\quad b=-1,\qquad \mu(u,v)=\frac1{u^{3}v}.
$$

Passo 5

Multiplicamos a equação por mu e obtemos nova forma exata
$$M’(u,v),du + N’(u,v),dv = 0
M'(u,v),du + N'(u,v),dv = 0 M’=-2\frac{v{3}}{u{3}v}=-2\frac{v{2}}{u{3}},\quad N’=\frac{u^{3}+2u v{2}}{u{3}v}=\frac1v+2\frac{v}{u^{2}}.
$$

Passo 6

A partir de partialPhi/partial u=M' e partialPhi/partial v=N' achamos
$$\Phi(u,v)=\frac{v{2}}{u{2}}+\ln|v| + C.
$$

Passo 7

Aplicamos a condição inicial: quando u=1, temos v=raiz2 (interpretação natural do enunciado implícito). Então
$$\frac{(\sqrt2){2}}{1{2}} + \ln(\sqrt2) = 2 + \tfrac12\ln2 = C.
$$

Passo 8

Portanto a solução implícita que satisfaz o valor inicial é
$$\frac{v{2}}{u{2}} + \ln v = 2 + \tfrac12\ln2.
$$

Resposta

A solução implícita é
v^2u^2 + ln v = 2 + tfrac12ln2

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