Resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado nos dá uma relação diferencial entre as variáveis u e v:
Precisamos reconhecer que isso é uma equação diferencial implícita e vai exigir técnicas de fator integrante e exatidão.
Passo 2
Para colocar no formato
reorganizamos:
$$\nu^{3},dv + 2v^{2}u,dv - 2v^{3},du = 0
$$
Passo 3
Verificamos se é exata, calculando
$$\frac{\partial M}{\partial v} = -6v^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial u} = 3u^{2} + 2v^{2}.
$$
Como não batem, buscamos um fator integrante do tipo .
Como não batem, buscamos um fator integrante do tipo
Passo 4
Impondo a condição de exatidão em
e
encontramos
$$a=-3,\quad b=-1,\qquad \mu(u,v)=\frac1{u^{3}v}.
$$
Passo 5
Multiplicamos a equação por
e obtemos nova forma exata
$$M’(u,v),du + N’(u,v),dv = 0
$$
Passo 6
A partir de
e
achamos
$$\Phi(u,v)=\frac{v{2}}{u{2}}+\ln|v| + C.
$$
Passo 7
Aplicamos a condição inicial: quando
, temos
(interpretação natural do enunciado implícito). Então
$$\frac{(\sqrt2){2}}{1{2}} + \ln(\sqrt2) = 2 + \tfrac12\ln2 = C.
$$
Passo 8
Portanto a solução implícita que satisfaz o valor inicial é
$$\frac{v{2}}{u{2}} + \ln v = 2 + \tfrac12\ln2.
$$
Resposta
A solução implícita é