Determine quais das seguintes equações diferenciais são homogêneas. Justifique sua resposta.
(x^3+2 x y^2-y^4x) d x-(x^2-y^2) d y=0

Passo 1

A questão pede para verificar se a forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y)=x^3 + 2xy^2 - y^4x, N(x,y)=x^2 - y^2
é homogênea. O conteúdo envolvido é o de funções homogêneas: precisamos checar se tanto M quanto N são homogêneas do mesmo grau.

Passo 2

Vamos determinar o grau de homogeneidade de cada coeficiente calculando o grau de cada monômio:
Para
M(x,y)=x^3 + 2xy^2 - y^4x
os termos têm graus:
  • x^3 é grau 3,
  • 2x y^2 é grau 1+2=3,
  • y^4/x é grau 4-1=3.
    Logo, M é homogênea de grau 3.
    Para
N(x,y)=x^2 - y^2
os termos têm graus:
  • x^2 é grau 2,
  • y^2 é grau 2.
    Logo, N é homogênea de grau 2.

Passo 3

Como M é homogênea de grau 3 e N é homogênea de grau 2, os graus não coincidem. Portanto, a forma diferencial não é homogênea.

Resposta

A equação diferencial não é homogênea, pois os coeficientes têm graus diferentes (3 e 2).

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