Determine quais das seguintes equações diferenciais são homogêneas. Justifique sua resposta.
Passo 1
A questão pede para verificar se a forma diferencial
com
é homogênea. O conteúdo envolvido é o de funções homogêneas: precisamos checar se tanto
quanto
são homogêneas do mesmo grau.
Passo 2
Vamos determinar o grau de homogeneidade de cada coeficiente calculando o grau de cada monômio:
Para
Para
os termos têm graus:
-
é grau 3, -
é grau 1+2=3, -
é grau 4-1=3.
Logo,é homogênea de grau 3.
Para
os termos têm graus:
-
é grau 2, -
é grau 2.
Logo,é homogênea de grau 2.
Passo 3
Como
é homogênea de grau 3 e
é homogênea de grau 2, os graus não coincidem. Portanto, a forma diferencial não é homogênea.
Resposta
A equação diferencial não é homogênea, pois os coeficientes têm graus diferentes (3 e 2).