Resolva o problema de valor inicial dado.
(t+s)^2 d t+(2 t s+t^2-1) d s=0, s(1)=1

Passo 1

Temos a equação diferencial
(t+s)^2,dt + (2ts + t^2 - 1),ds = 0
com a condição inicial s(1)=1. O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Identificamos
M(t,s) = (t+s)^2, N(t,s) = 2ts + t^2 - 1
Calculemos
partial Mpartial s = 2(t+s), partial Npartial t = 2s + 2t = 2(t+s)
Como partial M/partial s = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão, existe uma função F(t,s) tal que
partial Fpartial t = M(t,s) = (t+s)^2
Integramos em relação a t:
F(t,s) = integral (t+s)^2,dt = 13(t+s)^3 + h(s),
onde h(s) é função arbitrária de s.

Passo 4

Agora calculamos partial F/partial s e igualamos a N(t,s):
partial Fpartial s = (t+s)^2 + h'(s) stackrel!= 2ts + t^2 - 1
Como (t+s)^2 = t^2 + 2ts + s^2, temos
t^2 + 2ts + s^2 + h'(s) = t^2 + 2ts - 1 implies h'(s) = -1 - s^2
Integramos em s:
h(s) = -s - 13s^3 + C

Passo 5

Portanto a função potencial completa é
F(t,s) = 13(t+s)^3 - s - 13s^3,
logo a solução geral implícita é
F(t,s) = CLongrightarrow 13(t+s)^3 - s - 13s^3 = C

Passo 6

Aplicando a condição inicial t=1, s=1:
13(1+1)^3 - 1 - 13cdot1^3 = 13cdot8 - 1 - 13 = 8 - 3 - 13 = 43
Logo C = tfrac43. Multiplicando tudo por 3 para simplificar, a solução final implícita fica:

Passo 7

final_answer

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