Resolva a equação diferencial por separação de variável.
Passo 1
A gente tem a equação diferencial $ e^{x} y^{\prime} = 2x $ e precisa resolvê-la usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $ e então integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar $ y^{\prime} $ dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
Aqui, reescrevemos $ e^{-x} $ para facilitar a integração depois.
Passo 3
Sabemos que $ y^{\prime} = \frac{dy}{dx} $, então a equação fica:
Agora, temos $ \frac{dy}{dx} $ igual a uma função de $ x $, o que nos permite integrar ambos os lados para encontrar $ y $.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
Aqui, $ C $ é a constante de integração que aparece após a integração.
Passo 5
Para resolver a integral $ \int 2x e^{-x} , dx $, usamos o método de integração por partes. Vamos escolher:
Então, calculamos as derivadas e integrais necessárias:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial é: