Resolva a equação diferencial por separação de variável.
e^x y^prime=2 x

Passo 1

A gente tem a equação diferencial $ e^{x} y^{\prime} = 2x $ e precisa resolvê-la usando o método de separação de variáveis. Vamos precisar separar as partes que envolvem $ y $ das que envolvem $ x $ e então integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar $ y^{\prime} $ dividindo ambos os lados por $ e^{x} $:
y^prime
Aqui, reescrevemos $ e^{-x} $ para facilitar a integração depois.

Passo 3

Sabemos que $ y^{\prime} = \frac{dy}{dx} $, então a equação fica:
y^prime = dydx
Agora, temos $ \frac{dy}{dx} $ igual a uma função de $ x $, o que nos permite integrar ambos os lados para encontrar $ y $.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados em relação a $ x $:
x
Aqui, $ C $ é a constante de integração que aparece após a integração.

Passo 5

Para resolver a integral $ \int 2x e^{-x} , dx $, usamos o método de integração por partes. Vamos escolher:
integral 2x e^-x , dx
Então, calculamos as derivadas e integrais necessárias:
u = 2x e dv = e^-x dx
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
du = 2 dx e v = -e^-x

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial é:
y = -2 e^-x(x + 1) + C

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