Determine quais das seguintes equações diferenciais são homogêneas. Justifique sua resposta.
(x-y) d x+x d y=0

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a equação diferencial na forma diferencial exata
(x - y),dx + x,dy = 0
O assunto é equações homogêneas. Para identificar homogeneidade, precisamos verificar se os coeficientes de dx e dy são funções homogêneas de mesmo grau.

Passo 2

Identificar as funções M e N: Na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 temos
M(x,y) = x - y
N(x,y) = x

Passo 3

Verificar homogeneidade de M: Uma função f(x,y) é homogênea de grau n se f(tx,ty) = t^n f(x,y). Aqui
M(tx,ty) = (tx) - (ty) = t(x - y) = t^1 M(x,y)
Logo, M é homogênea de grau 1.

Passo 4

Verificar homogeneidade de N: De modo semelhante,
N(tx,ty) = tx = tcdot x = t^1 N(x,y)
Assim, N também é homogênea de grau 1.

Passo 5

Conclusão: Como M e N são homogêneas do mesmo grau (grau 1), a equação diferencial é homogênea.

Resposta

A equação (x - y),dx + x,dy = 0 é homogênea, pois os coeficientes são funções homogêneas de grau 1.

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