Considere o campo vetorial F=-c x i+y jx^2+y^2 (Este é o campo gravitacional de um fio uniforme infinitamente longo ao longo do eixo z.). Assuma c=1 e encontre pelo cálculo direto (isto é, usando uma parametrização de C ) o trabalho feito pelo campo gravitacional movendo uma massa unitária ao longo de cada uma das seguintes curvas C no plano x y :

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F = - x i + y jx^2 + y^2, que representa o campo gravitacional de um fio infinito e uniforme ao longo do eixo z. A gente vai calcular o trabalho feito por esse campo ao mover uma massa unitária ao longo de uma curva C no plano xy. Pra isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho W feito por um campo vetorial ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Aqui, F é o campo gravitacional e dr é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva.

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a curva C. Vamos supor que a curva seja uma circunferência de raio R centrada na origem. Então, podemos parametrizar C usando um ângulo theta que varia de 0 a 2pi:
x = R costheta, y = R sintheta, theta in [0, 2pi]
Dessa forma, o vetor posição é r(theta) = R costheta i + R sintheta j.

Passo 4

Vamos calcular dr, que é a derivada de r(theta) em relação a theta multiplicada por dtheta:
dr = drdtheta dtheta = (-R sintheta i + R costheta j) dtheta
Agora, substituímos x e y na expressão de F:
F = - R costheta i + R sintheta jR^2 cos^2theta + R^2 sin^2theta = - R costheta i + R sintheta jR^2 = - costheta i + sintheta jR

Passo 5

Agora fazemos o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (- costhetaR i - sinthetaR j) cdot (-R sintheta i + R costheta j) = (costheta cdot R sinthetaR + sintheta cdot R costhetaR) = costheta sintheta + sintheta costheta = 2 costheta sintheta
Então, a integral fica:
W = integral0^2pi 2 costheta sintheta dtheta
Podemos simplificar utilizando a identidade 2 costheta sintheta = sin2theta:
W = integral0^2pi sin2theta dtheta = [-cos2theta2]0^2pi = -cos4pi - cos02 = -1 - 12 = 0

Resposta

O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a massa unitária ao longo da circunferência é 0.

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