Considere o campo vetorial
(Este é o campo gravitacional de um fio uniforme infinitamente longo ao longo do eixo z.). Assuma
e encontre pelo cálculo direto (isto é, usando uma parametrização de
) o trabalho feito pelo campo gravitacional movendo uma massa unitária ao longo de cada uma das seguintes curvas
no plano
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
, que representa o campo gravitacional de um fio infinito e uniforme ao longo do eixo
. A gente vai calcular o trabalho feito por esse campo ao mover uma massa unitária ao longo de uma curva
no plano
. Pra isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho
feito por um campo vetorial ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é o campo gravitacional e
é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva.
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a curva
. Vamos supor que a curva seja uma circunferência de raio
centrada na origem. Então, podemos parametrizar
usando um ângulo
que varia de
a
:
Dessa forma, o vetor posição é
.
Passo 4
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
multiplicada por
:
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Passo 5
Agora fazemos o produto escalar
:
Então, a integral fica:
Podemos simplificar utilizando a identidade
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo gravitacional ao mover a massa unitária ao longo da circunferência é
.