Encontre a área limitada pelas parábolas
e
. Tome elementos de área paralelos ao eixo x.
Passo 1
O enunciado pede a área limitada pelas parábolas
(abertura para a direita) e
(abertura para cima), usando elementos de área paralelos ao eixo
. Vamos integrar em função de
, encontrando para cada
o valor de
em cada curva e os pontos de interseção.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, resolvemos o sistema:
Da primeira equação temos
. Substituindo na segunda:
Logo
. Além de
, o único ponto relevante no primeiro quadrante é
.
Passo 3
Isolando
em cada parábola como função de
:
- Da reta
vem
- De
(considerando e ) vem
No intervalo
, verifica-se que
, definindo corretamente as fronteiras.
Passo 4
O elemento de área é
Portanto a área é
Passo 5
Vamos separar em duas integrais:
Calculando:
Então