Encontre a área limitada pelas parábolas y^2=4 p x e x^2=4 p y. Tome elementos de área paralelos ao eixo x.

Passo 1

O enunciado pede a área limitada pelas parábolas y^2=4px (abertura para a direita) e x^2=4py (abertura para cima), usando elementos de área paralelos ao eixo x. Vamos integrar em função de y, encontrando para cada y o valor de x em cada curva e os pontos de interseção.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos o sistema:
y^2 = 4p x,
x^2 = 4p y
Da primeira equação temos x = y^2/(4p). Substituindo na segunda:
l(y^24pr)^2 = 4p y implies y^4 = 64p^3 y implies y^3 = 64p^3 implies y = 4p
Logo x = (4p)^2/(4p) = 4p. Além de (0,0), o único ponto relevante no primeiro quadrante é (4p,4p).

Passo 3

Isolando x em cada parábola como função de y:
  • Da reta y^2=4px vem
xesq = y^24p
  • De x^2=4py (considerando x>=0 e y>=0) vem
xdir = raiz4p y = 2raizp y
No intervalo 0<= y<=4p, verifica-se que 2raizpy>= y^2/(4p), definindo corretamente as fronteiras.

Passo 4

O elemento de área é
dA = l(xdir - xesqr),dy = l(2raizp y - y^24pr)dy
Portanto a área é
A = integraly=0^4p l(2raizp y - y^24pr) dy

Passo 5

Vamos separar em duas integrais:
I1 = 2raiz p integral0^4p y^1/2,dy,
I2 = 14p integral0^4p y^2,dy
Calculando:
I1 = 2raiz p cdot 23 y^3/2 |0^4p = 43raiz p ,(4p)^3/2 = 43raiz p cdot 8praiz p = 323p^2,
I2 = 14p cdot (4p)^33 = 14p cdot 64p^33 = 163p^2
Então
A = I1 - I2 = 323p^2 - 163p^2 = 163p^2

Resposta

163p^2

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