A equação representa uma familia de parábolas a um parâmetro. Ache uma equação de uma outra familia de curvas a um parâmetro, tal que em todo ponto haja uma curva de cada família passando por ele e as retas tangentes as duas curvas nesse ponto sejam perpendiculares.
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas de equações (parâmetro ) e pede a família de curvas ortogonais, ou seja, que em cada ponto tenham tangentes perpendiculares.
Passo 2
Para achar a inclinação da tangente da família dada, derivamos implicitamente em relação a . Temos
e daí .
Passo 3
A condição de ortogonalidade manda que a outra família tenha inclinação igual ao negativo do recíproco, ou seja,
Passo 4
Agora resolvemos a equação diferencial
dydx = y^2x^2
Passo 5
É uma EDO de variáveis separáveis. Separamos e integramos:
integral y^-2,dy = integral x^-2,dx
-1y = -1x + C
Passo 6
Multiplicando por -1 e chamando o constante de k, obtemos
1y = 1x + k
Passo 7
Este é o esboço da família ortogonal. Podemos reescrever multiplicando por xy: