A equação x^3+y^3=a^3 representa uma familia de parábolas a um parâmetro. Ache uma equação de uma outra familia de curvas a um parâmetro, tal que em todo ponto (x, y) haja uma curva de cada família passando por ele e as retas tangentes as duas curvas nesse ponto sejam perpendiculares.

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas de equações x^3 + y^3 = a^3 (parâmetro a) e pede a família de curvas ortogonais, ou seja, que em cada ponto tenham tangentes perpendiculares.

Passo 2

Para achar a inclinação da tangente da família dada, derivamos implicitamente x^3 + y^3 = a^3 em relação a x. Temos
3x^2 + 3y^2 dydx = 0
e daí
dydx = -x^2y^2.

Passo 3

A condição de ortogonalidade manda que a outra família tenha inclinação igual ao negativo do recíproco, ou seja,
dydx|ort = y^2x^2

Passo 4

Agora resolvemos a equação diferencial
dydx = y^2x^2

Passo 5

É uma EDO de variáveis separáveis. Separamos e integramos:
integral y^-2,dy = integral x^-2,dx
-1y = -1x + C

Passo 6

Multiplicando por -1 e chamando o constante de k, obtemos
1y = 1x + k

Passo 7

Este é o esboço da família ortogonal. Podemos reescrever multiplicando por xy:
x - y = k,x,y

Resposta

A família ortogonal é dada por
1y - 1x = k
ou equivalentemente
x - y = k,x,y,
com parâmetro k.

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