Determine quais das seguintes equações diferenciais são lineares:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre equações diferenciais lineares. A gente precisa identificar quais das equações dadas são lineares. Pra isso, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear e usar esse conceito pra analisar cada equação da lista.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial de ordem $ n $ é linear se pode ser escrita na forma:
Aqui, os coeficientes $ a_i(x) $ são funções apenas de $ x $ e $ g(x) $ é uma função conhecida. O importante é que $ y $ e suas derivadas apareçam apenas na primeira potência e não multiplificados entre si nem passados por funções não lineares.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada equação:
(A) $ y + x y’ + 2 y = 0 $
Simplificando: $ (1 + 2) y + x y’ = 3 y + x y’ = 0 $
Aqui, $ y $ e $ y’ $ aparecem na primeira potência e não há produtos entre eles. É linear.
Simplificando: $ (1 + 2) y + x y’ = 3 y + x y’ = 0 $
Aqui, $ y $ e $ y’ $ aparecem na primeira potência e não há produtos entre eles. É linear.
(B) $ y + 2x y’ + y = 4x y^2 $
Simplificando: $ 2y + 2x y’ = 4x y^2 $
Tem $ y^2 $, que é não linear. Não é linear.
Simplificando: $ 2y + 2x y’ = 4x y^2 $
Tem $ y^2 $, que é não linear. Não é linear.
© $ \frac{d^2 y}{dx^2} + e^{y} = 0 $
Aqui, $ e^{y} $ envolve uma função exponencial de $ y $, o que não é linear. Não é linear.
Aqui, $ e^{y} $ envolve uma função exponencial de $ y $, o que não é linear. Não é linear.
(D) $ \frac{d^3 y}{dx^3} - (\operatorname{sen} x) y = x $
As derivadas estão na primeira potência e multiplicadas por funções de $ x $. Não há produtos entre $ y $ e suas derivadas. É linear.
As derivadas estão na primeira potência e multiplicadas por funções de $ x $. Não há produtos entre $ y $ e suas derivadas. É linear.
(E) $ y’’ + x^2 y’ - y = 2 y $
Simplificando: $ y’’ + x^2 y’ - y - 2y = y’’ + x^2 y’ -3y = 0 $
Tudo está na primeira potência e multiplicado por funções de $ x $. É linear.
Simplificando: $ y’’ + x^2 y’ - y - 2y = y’’ + x^2 y’ -3y = 0 $
Tudo está na primeira potência e multiplicado por funções de $ x $. É linear.
(F) $ y \frac{dy}{dx} - x^2 y = 0 $
Aqui, $ y $ está multiplicando $ \frac{dy}{dx} $, o que resulta em um termo $ y y’ $, que é não linear. Não é linear.
Aqui, $ y $ está multiplicando $ \frac{dy}{dx} $, o que resulta em um termo $ y y’ $, que é não linear. Não é linear.
(G) $ y’’ - e^{x} = 0 $
Essa equação pode ser escrita como $ y’’ = e^{x} $, que é linear, já que $ y’’ $ está na primeira potência e separado das outras funções.
Essa equação pode ser escrita como $ y’’ = e^{x} $, que é linear, já que $ y’’ $ está na primeira potência e separado das outras funções.
Resposta
As equações diferenciais lineares são as opções A, D, E e G.