Determine quais das seguintes equações diferenciais são lineares:
(A) y+x y^prime+2 y=0
(B) y+2 x y^prime+y=4 x y^2
© d^2 yd x^2+e^y=0
(D) d^3 yd x^3-(sen x) y=x
(E) y^prime prime+x^2 y^prime-y=2 y
(F) y d yd x-x^2 y=0
(G) y^prime prime-e^x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre equações diferenciais lineares. A gente precisa identificar quais das equações dadas são lineares. Pra isso, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear e usar esse conceito pra analisar cada equação da lista.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial linear. Uma equação diferencial de ordem $ n $ é linear se pode ser escrita na forma:
n
Aqui, os coeficientes $ a_i(x) $ são funções apenas de $ x $ e $ g(x) $ é uma função conhecida. O importante é que $ y $ e suas derivadas apareçam apenas na primeira potência e não multiplificados entre si nem passados por funções não lineares.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada equação:
(A) $ y + x y’ + 2 y = 0 $
Simplificando: $ (1 + 2) y + x y’ = 3 y + x y’ = 0 $
Aqui, $ y $ e $ y’ $ aparecem na primeira potência e não há produtos entre eles. É linear.
(B) $ y + 2x y’ + y = 4x y^2 $
Simplificando: $ 2y + 2x y’ = 4x y^2 $
Tem $ y^2 $, que é não linear. Não é linear.
© $ \frac{d^2 y}{dx^2} + e^{y} = 0 $
Aqui, $ e^{y} $ envolve uma função exponencial de $ y $, o que não é linear. Não é linear.
(D) $ \frac{d^3 y}{dx^3} - (\operatorname{sen} x) y = x $
As derivadas estão na primeira potência e multiplicadas por funções de $ x $. Não há produtos entre $ y $ e suas derivadas. É linear.
(E) $ y’’ + x^2 y’ - y = 2 y $
Simplificando: $ y’’ + x^2 y’ - y - 2y = y’’ + x^2 y’ -3y = 0 $
Tudo está na primeira potência e multiplicado por funções de $ x $. É linear.
(F) $ y \frac{dy}{dx} - x^2 y = 0 $
Aqui, $ y $ está multiplicando $ \frac{dy}{dx} $, o que resulta em um termo $ y y’ $, que é não linear. Não é linear.
(G) $ y’’ - e^{x} = 0 $
Essa equação pode ser escrita como $ y’’ = e^{x} $, que é linear, já que $ y’’ $ está na primeira potência e separado das outras funções.

Resposta

As equações diferenciais lineares são as opções A, D, E e G.

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