Encontre um vetor unitário na direção do qual f decresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção:
f(x, y)=e^xy ; P(2,3)

Passo 1

O enunciado pede: para a função f(x,y)=e^xy no ponto P(2,3), encontrar o vetor unitário na direção em que f decresce mais rapidamente e calcular a taxa de variação de f nessa direção. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Para resolver, lembramos que o gradiente de f é o vetor das derivadas parciais e aponta a direção de maior crescimento. Logo, a direção de decrescimento mais rápido é o vetor -nabla f. A taxa de variação direcional na direção u é Duf=nabla fcdotu, e para u unitário nessa direção fica -|nabla f|.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^xy.
partial fpartial x=y,e^xy, partial fpartial y=x,e^xy

Passo 4

Avaliaremos no ponto P(2,3). Como xy=6, temos
nabla f(2,3)=l(3e^6,;2e^6r)
A direção de decrescimento mais rápido é -nabla f(2,3). Para tornar esse vetor unitário, dividimos pela sua norma:
|nabla f(2,3)|=e^6raiz3^2+2^2=e^6raiz13
Logo o vetor unitário é
u=-nabla f(2,3)|nabla f(2,3)|=(-3raiz13,-2raiz13)

Passo 5

A taxa de variação de f nessa direção é o produto interno de nabla f(2,3) com u. Como u é unitário em -nabla f, temos
Duf=nabla f(2,3)cdotu=-|nabla f(2,3)|=-e^6raiz13

Resposta

O vetor unitário é l(-tfrac3raiz13,-tfrac2raiz13r) e a taxa de variação direcional nessa direção é -e^6raiz13.

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