Encontre um vetor unitário na direção do qual
decresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de
em P nessa direção:
Passo 1
O enunciado pede: para a função
no ponto
, encontrar o vetor unitário na direção em que
decresce mais rapidamente e calcular a taxa de variação de
nessa direção. Vamos usar o conceito de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Para resolver, lembramos que o gradiente de
é o vetor das derivadas parciais e aponta a direção de maior crescimento. Logo, a direção de decrescimento mais rápido é o vetor
. A taxa de variação direcional na direção
é
, e para
unitário nessa direção fica
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 4
Avaliaremos no ponto
. Como
, temos
A direção de decrescimento mais rápido é
. Para tornar esse vetor unitário, dividimos pela sua norma:
Logo o vetor unitário é
Passo 5
A taxa de variação de
nessa direção é o produto interno de
com
. Como
é unitário em
, temos
Resposta
O vetor unitário é
e a taxa de variação direcional nessa direção é
.