Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO não-homogênea no intervalo , usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar: a) da solução geral da equação homogênea associada, b) das duas soluções fundamentais, c) do Wronskiano, e d) das fórmulas de variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea é . A equação característica é , com raízes . Logo, a solução geral homogênea é
As duas soluções fundamentais são e .
Passo 3
Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
Passo 4
Na variação de parâmetros, escrevemos uma solução particular da forma
$$y_p = \Bigl(-\tfrac12\sec^2x\Bigr)\cos x + (\tan x)\sin x.
yp = l(-tfrac12sec^2xr)cos x + (tan x)sin x -\tfrac12\sec^2x\cos x = -\tfrac12\sec x,$$
-tfrac12sec^2xcos x = -tfrac12sec x,
Logo tan xsin x = sin^2xcos x = 1-cos^2xcos x = sec x - cos x
Passo 7
A solução geral da EDO não-homogênea é
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \Bigl(\tfrac12\sec x - \cos x\Bigr).
$$
Como o termo y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos x + C2sin x + l(tfrac12sec x - cos xr) pode ser absorvido em -cos x, reescrevemos a solução de forma mais enxuta: