Resolva a equação diferencial usando o método da variação dos parâmetros.
y^prime prime+y=sec ^3 x, 0

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO não-homogênea y'' + y = sec^3 x no intervalo 0, usando o método da variação de parâmetros. Vamos precisar: a) da solução geral da equação homogênea associada, b) das duas soluções fundamentais, c) do Wronskiano, e d) das fórmulas de variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea é y'' + y = 0. A equação característica é r^2 +1=0, com raízes r=pm i. Logo, a solução geral homogênea é
yh(x)=C1cos x + C2sin x
As duas soluções fundamentais são y1=cos x e y2=sin x.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções fundamentais:
W(y1,y2)=cos x & sin x -sin x & cos x=cos^2x+sin^2x=1

Passo 4

Na variação de parâmetros, escrevemos uma solução particular da forma
yp = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x),
tonando
u1' = -f(x),y2W, u2' = f(x),y1W,
onde f(x)=sec^3x. Substituindo y1, y2, W:
u1' = -sec^3x,sin x = -sin xcos^3x,
u2' = sec^3x,cos x = 1cos^2x=sec^2x

Passo 5

Agora integramos para obter u1 e u2:
Para u1:
u1 = integral -sin xcos^3x,dx
Fazendo u=cos x, du=-sin x,dx, temos
u1 = integral duu^3 = u^-2-2 = -12,u^2 = -12cos^2x = -tfrac12sec^2x
Para u2:
u2 = integral sec^2x,dx = tan x

Passo 6

Montamos yp = u1,y1 + u2,y2:
$$y_p = \Bigl(-\tfrac12\sec^2x\Bigr)\cos x + (\tan x)\sin x.
yp = l(-tfrac12sec^2xr)cos x + (tan x)sin x -\tfrac12\sec^2x\cos x = -\tfrac12\sec x,$$
-tfrac12sec^2xcos x = -tfrac12sec x,
Logo
tan xsin x = sin^2xcos x = 1-cos^2xcos x = sec x - cos x

Passo 7

A solução geral da EDO não-homogênea é
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \Bigl(\tfrac12\sec x - \cos x\Bigr).
$$
Como o termo y(x) = yh(x) + yp(x) = C1cos x + C2sin x + l(tfrac12sec x - cos xr) pode ser absorvido em -cos x, reescrevemos a solução de forma mais enxuta:

Passo 8

Resposta

y(x)=C1cos x+ C2sin x+tfrac12sec x.

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