Encontre um vetor unitário na direção do qual f cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de f em P nessa direção:
f(x, y)=3 x-ln (y) ; P(2,4)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a direção (vetor unitário) em que a função cresce mais rápido em P e a taxa de variação nessa direção. O conteúdo principal é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional máxima, pois sabemos que a direção de máximo crescimento é dada pelo vetor gradiente normalizado e que a taxa máxima é o módulo do gradiente.

Passo 2

Precisamos calcular o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
a primeira componente é ∂f/∂x e a segunda é ∂f/∂y.

Passo 3

Derivando, obtemos
partial fpartial x=3, partial fpartial y=-1y
Portanto, nabla f(x,y)=(3, -1/y).

Passo 4

Agora avaliamos o gradiente em P(2,4):
nabla f(2,4)=l(3, -14r)

Passo 5

Em seguida calculamos a norma de nabla f(2,4):
|nabla f(2,4)|=raiz3^2+l(-tfrac14r)^2=raiz9+tfrac116=raiztfrac14516=raiz1454

Passo 6

Para obter o vetor unitário na direção do gradiente, dividimos nabla f(2,4) pela sua norma:
u=1|nabla f(2,4)|nabla f(2,4)=4raiz145l(3, -tfrac14r)=l(tfrac12raiz145, -tfrac1raiz145r)

Passo 7

A taxa de variação máxima de f em P, que é o derivada direcional nessa direção, é justamente o módulo do gradiente em P, ou seja tfracraiz1454.

Resposta

O vetor unitário é l(tfrac12raiz145, -tfrac1raiz145r) e a taxa de variação máxima em P nessa direção é tfracraiz1454.

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