Encontre um vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em P e obtenha a taxa de variação de
em P nessa direção:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a direção (vetor unitário) em que a função cresce mais rápido em P e a taxa de variação nessa direção. O conteúdo principal é derivadas parciais, gradiente e derivada direcional máxima, pois sabemos que a direção de máximo crescimento é dada pelo vetor gradiente normalizado e que a taxa máxima é o módulo do gradiente.
Passo 2
Precisamos calcular o gradiente de f, que é o vetor das derivadas parciais:
a primeira componente é ∂f/∂x e a segunda é ∂f/∂y.
Passo 3
Derivando, obtemos
Portanto,
.
Passo 4
Agora avaliamos o gradiente em P(2,4):
Passo 5
Em seguida calculamos a norma de
:
Passo 6
Para obter o vetor unitário na direção do gradiente, dividimos
pela sua norma:
Passo 7
A taxa de variação máxima de f em P, que é o derivada direcional nessa direção, é justamente o módulo do gradiente em P, ou seja
.
Resposta
O vetor unitário é
e a taxa de variação máxima em P nessa direção é
.