Determine as seguintes famílias de primitivas:
integral 3^arccos xraiz1-x^2 d x.

Passo 1

Temos a integral integral 3^arccos xraiz1-x^2,dx. O conteúdo é integração de função composta envolvendo arccos x e sua derivada, sabendo que ddxarccos x = -1raiz1-x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição t = arccos x. Então x = cos t, e como tin[0,pi] temos
raiz1-x^2 = sin t
Além disso,
dx = -sin t,dt

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador fica 3^t e o denominador sin t, cancelando com o sin t de dx:
integral 3^arccos xraiz1-x^2,dx = integral 3^tsin t(-sin t,dt) = -integral 3^t,dt

Passo 4

Como integral 3^t,dt = 3^tln 3 + C, concluímos que
-integral 3^t,dt = -3^tln 3 + C

Passo 5

Voltando à variável x com t = arccos x, a família de primitivas é
-3^arccos xln 3 + C

Resposta

-\frac{3^{\arccos x}}{\ln 3} + C

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