Determine as seguintes famílias de primitivas:
integral cosec^2(1x) 1x^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de csc^2l(tfrac1xr)dfrac1x^2, ou seja, vamos integrar integral csc^2l(tfrac1xr)dfrac1x^2,dx. O conteúdo principal é integração por substituição e precisamos lembrar que a derivada de 1/x e a primitiva de csc^2(u) são essenciais.

Passo 2

Fazemos a substituição u=tfrac1x. Então
du = -1x^2,dx Longrightarrow 1x^2,dx = -,du,

Passo 3

Substituindo no integral original, obtemos
integral csc^2l(tfrac1xr)1x^2,dx = -integral csc^2(u),du

Passo 4

Sabendo que
integral csc^2(u),du = -cot(u) + C,
segue que
-integral csc^2(u),du = -l(-cot(u)r) + C = cot(u) + C

Passo 5

Por fim, voltando à variável x com u=1/x, a família de primitivas é

Resposta

cotl(tfrac1xr) + C

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