Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o por quê.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se ela é aceitável como função de onda no intervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é escrita como
. - O intervalo considerado é todo o eixo real:
.
Pergunta a responder: a funçãosatisfaz as condições necessárias para ser uma função de onda no intervalo indicado? Se não, por quê?
Passo 2
Condições essenciais que uma função deve satisfazer para ser considerada função de onda (vou explicar cada uma com calma):
- Ser bem definida (single-valued) e finita para todo
do domínio. Isso significa que para cada no intervalo a função deve ter um valor único e não “explodir” (não ser infinito). - Ser normalizável (ou seja, quadrado-integrável): a quantidade
deve ser finita. Isso é crucial porque probabilidades físicas vêm de
e elas têm que somar 1 (após normalização). Se essa integral diverge, não existe constante finita que normalize
.
3) Ser contínua (em muitas situações físicas a continuidade é exigida; descontinuidades fortes tornam as energias infinitas). A condição de derivabilidade depende do Hamiltoniano, mas primeiro cheque a normalização.
3) Ser contínua (em muitas situações físicas a continuidade é exigida; descontinuidades fortes tornam as energias infinitas). A condição de derivabilidade depende do Hamiltoniano, mas primeiro cheque a normalização.
Vou usar essas condições para testar
.
Passo 3
Primeiro problema: domínio da função
. A raiz quadrada real
está definida apenas para
. Como o enunciado exige a função no intervalo
, com a interpretação usual (raiz real),
não está definida para
. Logo, já temos um problema: a função não é um candidato válido no intervalo inteiro porque falta valor para todos os
. Portanto, com interpretação real padrão, a função NÃO é aceitável simplesmente porque não está definida no domínio pedido.
Passo 4
Uma observação: alguém poderia tentar estender
para
usando a raiz complexa (por exemplo
quando
). Mesmo nessa extensão complexa, precisamos checar a normalização. Vou então analisar a integral de normalização supondo que
esteja definida para todo
(usando extensão complexa se necessário).
Para
,
Para
, com a extensão complexa principal
,
Note que, de qualquer forma, para grandes
(positivo ou negativo) o comportamento dominante de
é proporcional a
(para
tem termo
; para
a forma
também cresce como
).
Passo 5
Agora calcule (ou estime) a integral de normalização para ver se converge:
Usando as expressões acima, por exemplo para a parte positiva:
Cada um desses termos é divergente:
já diverge, e
também diverge. Portanto a integral sobre
é infinita. Assim a integral total
diverge (é infinita), seja na interpretação real (onde a função sequer está definida para
) seja na extensão complexa.
Passo 6
Comentário sobre continuidade/derivada em
: mesmo restringindo ao semi-eixo
,
tende para
quando
, então a derivada é singular em
. Isso pode causar problemas adicionais para esperanças de energia (termos cinéticos envolvem derivadas). Mas esse é um detalhe secundário: o problema fundamental já é a não-normalizabilidade / ausência de definição em todo o eixo.
Passo 7
Conclusão resumida (pra te deixar confiante na resposta): a função não é aceitável como função de onda em
porque, com a interpretação usual, não está definida para
; mesmo se for estendida complexamente para todo o eixo, o quadrado do módulo cresce como
para grandes
, fazendo com que
ou seja, não é normalizável. Qualquer função de onda física precisa ser normalizável.
Resposta
Não —
não é aceitável, pois não está definida para
(na interpretação real) e, mesmo estendida, não é normalizável:
.