Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o por quê.
f(x)=\sqrt{x}+1 ; \quad-\infty \leq x \leq+\infty

Passo 1

O enunciado dá a função \psi(x)=\sqrt{x}+1 e pede para determinar se ela é aceitável como função de onda no intervalo -\infty\le x\le+\infty.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é escrita como \psi(x)=\sqrt{x}+1.
  • O intervalo considerado é todo o eixo real: -\infty<x<+\infty.
    Pergunta a responder: a função \psi(x) satisfaz as condições necessárias para ser uma função de onda no intervalo indicado? Se não, por quê?

Passo 2

Condições essenciais que uma função deve satisfazer para ser considerada função de onda (vou explicar cada uma com calma):
  1. Ser bem definida (single-valued) e finita para todo x do domínio. Isso significa que para cada x no intervalo a função deve ter um valor único e não “explodir” (não ser infinito).
  2. Ser normalizável (ou seja, quadrado-integrável): a quantidade
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx
deve ser finita. Isso é crucial porque probabilidades físicas vêm de |\psi(x)|^2 e elas têm que somar 1 (após normalização). Se essa integral diverge, não existe constante finita que normalize \psi.
3) Ser contínua (em muitas situações físicas a continuidade é exigida; descontinuidades fortes tornam as energias infinitas). A condição de derivabilidade depende do Hamiltoniano, mas primeiro cheque a normalização.
Vou usar essas condições para testar \psi(x).

Passo 3

Primeiro problema: domínio da função \sqrt{x}. A raiz quadrada real \sqrt{x} está definida apenas para x\ge 0. Como o enunciado exige a função no intervalo -\infty<x<+\infty, com a interpretação usual (raiz real), \psi(x)=\sqrt{x}+1 não está definida para x<0. Logo, já temos um problema: a função não é um candidato válido no intervalo inteiro porque falta valor para todos os x<0. Portanto, com interpretação real padrão, a função NÃO é aceitável simplesmente porque não está definida no domínio pedido.

Passo 4

Uma observação: alguém poderia tentar estender \sqrt{x} para x<0 usando a raiz complexa (por exemplo \sqrt{x}=i\sqrt{|x|} quando x<0). Mesmo nessa extensão complexa, precisamos checar a normalização. Vou então analisar a integral de normalização supondo que \psi esteja definida para todo x (usando extensão complexa se necessário).
Para x\ge 0,
\psi(x)=1+\sqrt{x}, \qquad |\psi(x)|^2=(1+\sqrt{x})^2=1+2\sqrt{x}+x.
Para x<0, com a extensão complexa principal \sqrt{x}=i\sqrt{|x|},
\psi(x)=1+i\sqrt{|x|}, \qquad |\psi(x)|^2=(1+i\sqrt{|x|})(1-i\sqrt{|x|})=1+|x|.
Note que, de qualquer forma, para grandes |x| (positivo ou negativo) o comportamento dominante de |\psi(x)|^2 é proporcional a |x| (para x\to+\infty tem termo x; para x\to -\infty a forma 1+|x| também cresce como |x|).

Passo 5

Agora calcule (ou estime) a integral de normalização para ver se converge:
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx = \int_{-\infty}^{0}|\psi(x)|^2\,dx + \int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx.
Usando as expressões acima, por exemplo para a parte positiva:
\int_{0}^{\infty}(1+2\sqrt{x}+x)\,dx = \int_{0}^{\infty}1\,dx + 2\int_{0}^{\infty}x^{1/2}\,dx + \int_{0}^{\infty}x\,dx.
Cada um desses termos é divergente: \int_{0}^{\infty}1\,dx=\infty já diverge, e \int_{0}^{\infty}x\,dx=\infty também diverge. Portanto a integral sobre [0,\infty) é infinita. Assim a integral total \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx diverge (é infinita), seja na interpretação real (onde a função sequer está definida para x<0) seja na extensão complexa.

Passo 6

Comentário sobre continuidade/derivada em x=0: mesmo restringindo ao semi-eixo x\ge 0, \psi'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{x}} tende para +\infty quando x\to 0^+, então a derivada é singular em 0. Isso pode causar problemas adicionais para esperanças de energia (termos cinéticos envolvem derivadas). Mas esse é um detalhe secundário: o problema fundamental já é a não-normalizabilidade / ausência de definição em todo o eixo.

Passo 7

Conclusão resumida (pra te deixar confiante na resposta): a função não é aceitável como função de onda em -\infty<x<+\infty porque, com a interpretação usual, não está definida para x<0; mesmo se for estendida complexamente para todo o eixo, o quadrado do módulo cresce como |x| para grandes |x|, fazendo com que
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx=\infty,
ou seja, não é normalizável. Qualquer função de onda física precisa ser normalizável.

Resposta

Não — \psi(x)=\sqrt{x}+1 não é aceitável, pois não está definida para x<0 (na interpretação real) e, mesmo estendida, não é normalizável: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx=\infty.

Exercícios relacionados