Usando a identidade trigonométrica
mostre que as funções de onda de uma partícula na caixa são ortogonais, ou seja
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que as funções de onda de uma partícula na caixa são ortogonais, ou seja que
Foi dada a identidade trigonométrica
Além disso, para uma partícula em uma caixa de comprimento
(com paredes infinitas em
e
) as autofunções estacionárias normalizadas são
que são funções reais (portanto
). Essas são todas as informações relevantes para o problema.
Passo 2
Escrevemos o produto que aparece na integral substituindo as funções de onda. Como
é real,
. Então
Multiplicando as constantes obtemos
Passo 3
Substituímos isso na integral pedida:
Agora usamos a identidade trigonométrica dada com
e
. Pela identidade,
Passo 4
Substituindo a identidade na integral, fatorando constantes:
As metades se cancelam com o
externo, ficando
Passo 5
Agora calculamos cada integral do tipo
, com
inteiro. A primitiva da função cosseno é
No nosso caso
. Assim, para
,
Passo 6
Usamos que
para todo
inteiro (porque
é múltiplo de
). Logo o resultado da integral para
é zero:
No nosso problema temos dois valores de
:
e
. Quando
, ambos são inteiros não nulos:
e
. Portanto cada uma das duas integrais que aparecem no Passo 4 vale zero.
Passo 7
Como ambas integrais valem zero, a diferença também vale zero:
Isso prova a ortogonalidade das funções de onda correspondentes a estados com números quânticos diferentes.