Usando a identidade trigonométrica
\operatorname{sen} a \operatorname{sen} b=\frac{1}{2} \cos (a-b)-\frac{1}{2} \cos (a+b)
mostre que as funções de onda de uma partícula na caixa são ortogonais, ou seja
\int_{0}^{a} \psi_{n}^{*} \psi_{m} d x=0 \quad m \neq n

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que as funções de onda de uma partícula na caixa são ortogonais, ou seja que
\int_{0}^{a} \psi_{n}^{*}(x)\,\psi_{m}(x)\,dx=0\quad\text{para }m\neq n.
Foi dada a identidade trigonométrica
\sin a\sin b=\frac{1}{2}\cos(a-b)-\frac{1}{2}\cos(a+b).
Além disso, para uma partícula em uma caixa de comprimento a (com paredes infinitas em x=0 e x=a) as autofunções estacionárias normalizadas são
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right),\qquad n=1,2,\dots,
que são funções reais (portanto \psi_n^*=\psi_n). Essas são todas as informações relevantes para o problema.

Passo 2

Escrevemos o produto que aparece na integral substituindo as funções de onda. Como \psi_n é real, \psi_n^*=\psi_n. Então
\psi_n^*(x)\psi_m(x)=\psi_n(x)\psi_m(x) =\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\right)\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\right).
Multiplicando as constantes obtemos
\psi_n^*(x)\psi_m(x)=\frac{2}{a}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right).

Passo 3

Substituímos isso na integral pedida:
\int_{0}^{a}\psi_n^*(x)\psi_m(x)\,dx=\frac{2}{a}\int_{0}^{a}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right)\,dx.
Agora usamos a identidade trigonométrica dada com a\mapsto \frac{n\pi x}{a} e b\mapsto \frac{m\pi x}{a}. Pela identidade,
\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sin\!\left(\frac{m\pi x}{a}\right) =\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{(n-m)\pi x}{a}\right)-\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{(n+m)\pi x}{a}\right).

Passo 4

Substituindo a identidade na integral, fatorando constantes:
\int_{0}^{a}\psi_n^*\psi_m\,dx =\frac{2}{a}\int_{0}^{a}\left[\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{(n-m)\pi x}{a}\right)-\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{(n+m)\pi x}{a}\right)\right]dx.
As metades se cancelam com o 2 externo, ficando
\int_{0}^{a}\psi_n^*\psi_m\,dx =\frac{1}{a}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{(n-m)\pi x}{a}\right)dx -\frac{1}{a}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{(n+m)\pi x}{a}\right)dx.

Passo 5

Agora calculamos cada integral do tipo \int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{k\pi x}{a}\right)dx, com k inteiro. A primitiva da função cosseno é
\int \cos(\alpha x)\,dx=\frac{1}{\alpha}\sin(\alpha x)\quad(\alpha\neq 0).
No nosso caso \alpha=\frac{k\pi}{a}. Assim, para k\neq 0,
\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{k\pi x}{a}\right)dx =\left[\frac{a}{k\pi}\sin\!\left(\frac{k\pi x}{a}\right)\right]_{0}^{a} =\frac{a}{k\pi}\left(\sin(k\pi)-\sin(0)\right).

Passo 6

Usamos que \sin(k\pi)=0 para todo k inteiro (porque k\pi é múltiplo de \pi). Logo o resultado da integral para k\neq 0 é zero:
\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{k\pi x}{a}\right)dx=0\quad\text{se }k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}.
No nosso problema temos dois valores de k: k=n-m e k=n+m. Quando m\neq n, ambos são inteiros não nulos: n-m\neq 0 e n+m\neq 0. Portanto cada uma das duas integrais que aparecem no Passo 4 vale zero.

Passo 7

Como ambas integrais valem zero, a diferença também vale zero:
\int_{0}^{a}\psi_{n}^{*}(x)\psi_{m}(x)\,dx=0\qquad\text{para }m\neq n.
Isso prova a ortogonalidade das funções de onda correspondentes a estados com números quânticos diferentes.

Resposta

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