A função de onda
é válida para o intervalo de
a 1 . Mostre que um elétron tem uma probabilidade de
de existir neste intervalo, verificando que esta função de onda é normalizada.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
definida no intervalo
.
A pergunta é: mostrar que um elétron tem probabilidade de de existir neste intervalo, ou seja, verificar que a função de onda está normalizada no intervalo
.
A pergunta é: mostrar que um elétron tem probabilidade de
Passo 2
O que significa “normalizada”? Vou explicar devagarinho. Em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar a partícula entre
e
é dada por
A função está normalizada no domínio considerado quando a probabilidade total no domínio é
(ou seja,
):
Aqui
é o quadrado do módulo da função de onda; se
for real,
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso: como
é real, calculamos
Simplificando o fator:
logo precisamos avaliar
Passo 4
Para integrar
usamos a identidade trigonométrica que facilita a integral:
Aqui tomamos
. Substituindo,
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora calculamos a integral termo a termo:
A primeira integral é imediata:
A segunda integral usa a primitiva de
: uma primitiva é
, pois derivando
vem
. Assim
Mas
e
, então essa integral é
.
Passo 6
Juntando os resultados:
Portanto
Isto significa que a função de onda está normalizada no intervalo
, e a probabilidade de encontrar o elétron nesse intervalo é
.
Resposta
A função de onda está normalizada:
. Portanto a probabilidade é
.