A função de onda \psi(x)=\sqrt{2} \operatorname{sen} \pi x é válida para o intervalo de \mathrm{x}=0 a 1 . Mostre que um elétron tem uma probabilidade de 100 \% de existir neste intervalo, verificando que esta função de onda é normalizada.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda \psi(x)=\sqrt{2}\,\sin(\pi x) definida no intervalo x\in[0,1].
A pergunta é: mostrar que um elétron tem probabilidade de 100\% de existir neste intervalo, ou seja, verificar que a função de onda está normalizada no intervalo 0\le x\le1.

Passo 2

O que significa “normalizada”? Vou explicar devagarinho. Em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar a partícula entre x=a e x=b é dada por
\int_{a}^{b} |\psi(x)|^2\,dx.
A função está normalizada no domínio considerado quando a probabilidade total no domínio é 1 (ou seja, 100\%):
\int_{0}^{1} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Aqui |\psi(x)|^2 é o quadrado do módulo da função de onda; se \psi for real, |\psi|^2=\psi^2.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso: como \psi(x) é real, calculamos
\int_{0}^{1} |\psi(x)|^2\,dx = \int_{0}^{1} \big(\psi(x)\big)^2\,dx = \int_{0}^{1} \big(\sqrt{2}\,\sin(\pi x)\big)^2\,dx.
Simplificando o fator:
\big(\sqrt{2}\,\sin(\pi x)\big)^2 = 2\,\sin^2(\pi x),
logo precisamos avaliar
\int_{0}^{1} 2\,\sin^2(\pi x)\,dx.

Passo 4

Para integrar \sin^2 usamos a identidade trigonométrica que facilita a integral:
\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aqui tomamos \theta=\pi x. Substituindo,
\sin^2(\pi x) = \frac{1-\cos(2\pi x)}{2}.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} 2\,\sin^2(\pi x)\,dx = \int_{0}^{1} 2\cdot\frac{1-\cos(2\pi x)}{2}\,dx = \int_{0}^{1} \big(1-\cos(2\pi x)\big)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral termo a termo:
\int_{0}^{1} \big(1-\cos(2\pi x)\big)\,dx = \int_{0}^{1} 1\,dx \;-\; \int_{0}^{1} \cos(2\pi x)\,dx.
A primeira integral é imediata:
\int_{0}^{1} 1\,dx = [x]_{0}^{1} = 1.
A segunda integral usa a primitiva de \cos(2\pi x): uma primitiva é \dfrac{1}{2\pi}\sin(2\pi x), pois derivando \sin(2\pi x) vem 2\pi\cos(2\pi x). Assim
\int_{0}^{1} \cos(2\pi x)\,dx = \left[\dfrac{1}{2\pi}\sin(2\pi x)\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2\pi}\big(\sin(2\pi\cdot 1)-\sin(2\pi\cdot 0)\big).
Mas \sin(2\pi)=0 e \sin(0)=0, então essa integral é 0.

Passo 6

Juntando os resultados:
\int_{0}^{1} \big(1-\cos(2\pi x)\big)\,dx = 1 - 0 = 1.
Portanto
\int_{0}^{1} |\psi(x)|^2\,dx = 1.
Isto significa que a função de onda está normalizada no intervalo 0\le x\le1, e a probabilidade de encontrar o elétron nesse intervalo é 100\%.

Resposta

A função de onda está normalizada: \displaystyle \int_{0}^{1} |\psi(x)|^2\,dx = 1. Portanto a probabilidade é 100\%.

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