Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o por quê. \psi(x)=e^{x^{2}} ; \quad-\infty \leq x \leq+\infty
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a função de onda \psi(x)=e^{x^{2}} é aceitável no intervalo -\infty \le x \le +\infty.
Informações fornecidas pelo enunciado: a função explícita \psi(x)=e^{x^{2}} e o domínio inteiro da reta real (-\infty,+\infty).
Pergunta clara: a função é aceitável como função de onda no espaço unidimensional completo?
Passo 2
O que significa “aceitável como função de onda”? Vou explicar de forma didática, passo a passo, sem pular etapas.
Normalizabilidade (condição principal): uma função de onda \psi(x) deve ser normalizável para representar um estado físico. Isso significa que a integral do quadrado do módulo deve ser finita:
Se essa integral for finita, podemos escolher uma constante N tal que N\psi(x) satisfaça
\int_{-\infty}^{\infty} |N\psi(x)|^{2}\,dx = 1,
isto é, podemos normalizar a função. Se a integral for infinita, não existe constante finita que normalize a função.
Explicação do porquê: em mecânica quântica |\psi(x)|^{2} é interpretado como densidade de probabilidade; a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1. Logo a integral tem de convergir.
Outras propriedades necessárias (mas secundárias aqui): a função deve ser única (single-valued) e, em situações com potenciais finitos, contínua e com derivada contínua. Essas condições servem para que a equação de Schrödinger faça sentido. Porém, mesmo que essas sejam satisfeitas, a normalizabilidade é essencial — se falhar, a função não é aceitável.
Resumo: para decidir, o teste prático é calcular \int_{-\infty}^{\infty} |\psi|^{2}\,dx e verificar se converge.
Passo 3
Calculemos o quadrado do módulo e a integral de normalização (sem constantes de normalização, apenas testar convergência).
Como a integral comparada diverge, pela comparação a integral original \int_{1}^{\infty} e^{2x^{2}}\,dx também diverge. Portanto
\int_{0}^{\infty} e^{2x^{2}}\,dx = \infty
e consequentemente
\int_{-\infty}^{\infty} e^{2x^{2}}\,dx = \infty.
Passo 5
Conclusão técnica e física: a integral de |\psi|^{2} sobre todo o espaço é infinita, logo \psi(x)=e^{x^{2}} não é normalizável. Não existe constante finita N tal que N\psi tenha norma 1. Apesar de \psi(x) ser única e contínua em cada ponto, a falha na normalização é suficiente para torná-la inaceitável como função de onda física.
Dica amiga: sempre que a função cresce muito rápido para |x|\to\infty (como e^{+x^{2}}, que cresce ainda mais rápido que e^{ax}), já suspeite que a integral do quadrado vai divergir. Funções de onda aceitáveis no infinito geralmente decaem (por exemplo e^{-x^{2}} ou e^{-|x|}), não crescem.
Resposta
Não — \psi(x)=e^{x^{2}} não é aceitável, pois não é normalizável: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2x^{2}}\,dx=\infty.