Determine quais das seguintes funções pertencem ao espaço L2 :
f(x)=sech(x)

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra gente descobrir se a função

é membro do espaço f(x)=sech(x) (ou seja, se ela é “quadrado-integrável” em ). O conteúdo aqui é Espaços , em especial , e o que a gente precisa é calcular a integral

e ver se dá um número finito.

Passo 2

O que significa fin L2( R)Long<=ftrightarrow integral-infty^infty|f(x)|^2,dx?
Por definição,

Ou seja, a gente pega o quadrado do valor absoluto da função e integra no real inteiro; se der um valor finito, beleza, tá em .

Passo 3

Vamos escrever o quadrado de |f(x)|^2 = l(sech(x)r)^2 = sech^2(x), :

E como , isso é a mesma coisa que , mas fica mais bonito usar .

Passo 4

Agora calculamos

Sabemos da teoria de integrais que
Então um antiderivado de é integral-infty^inftysech^2(x),dx. Aplicando os limites:
E 2 é um número finito.

Resposta

Como , a função pertence ao espaço .

Exercícios relacionados