Verifique as propriedades da função delta de Dirac listadas aqui considerando integrais.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra “verificar” a propriedade
usando integrais. O assunto é Distribuição de Dirac (função delta como distribuição) e, pra resolver, a gente vai usar a definição de como a delta age sobre uma função teste
:
Passo 2
Primeiro, lembra da definição de distribuição (ação sobre função teste). Pra qualquer
suave com suporte compacto, a gente tem:
Isso é o que faz a delta “pegar” o valor da
em zero.
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece com a distribuição
. Por definição:
Como
concentra toda a “ação” em
, podemos avaliar
e
ali:
Ou seja,
age como a distribuição nula.
Passo 4
Agora, a distribuição
pura, a gente já sabe:
que geralmente não é zero (depende da
).
Passo 5
Comparando:
elas não coincidem pra todo
. Logo,
Resposta
A propriedade
é falsa. Na verdade
é a distribuição zero.