Suponha que temos um poço quadrado infinito de largura a. As funções de onda que são as soluções da equação de Schrödinger são as funções base para um espaço de Hilbert definido sobre 0 <= x <= a. Recordamos que essas funções base são dadas por:
phin(x)=raiz2a sin (n pi xa)
Podemos expandir qualquer função em termos dessas funções base usando varphi(x)=sumi=1^infty ai phii(x) onde os coeficientes de expansão são encontrados usando:
ai=integral0^a phii^*(x) varphi(x) d x
Deixe varphi(x)=cosh (x) onde cosh é a função cosseno hiperbólico. Encontre os coeficientes de expansão necessários para expressar varphi em termos das funções base do poço quadrado.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um poço quântico de largura phin(x)=raiz2asin!l(tfracnpi xar), n=1,2,dots e as funções de onda do poço formam uma base ortonormal
varphi(x)=cosh(x)
E a gente quer expandir
varphi(x)=sumn=1^infty an,phin(x)
nessa base, ou seja
an=integral0^aphin^*(x),varphi(x),dx
com
Conteúdo: expansão em base ortonormal e cálculo de coeficiente pelo produto interno. Vamos precisar usar integração de .

Passo 2

Escrevendo direto o que precisamos calcular:
an=integral0^araiz2asin!l(npi xar)cosh(x);dx =raiz2a;integral0^asin(kn x),cosh(x);dx
onde eu defini
kn=npia
Agora o desafio é resolver
.

Passo 3

Para integrar integral e^pm xsin(kx),dx =e^pm x1+k^2l(pmsin(kx)-kcos(kx)r) , uma sacada é usar
integralsin(kx)cosh(x),dx =11+k^2l[sinh(x)sin(kx)-kcosh(x)cos(kx)r]
e a fórmula-padrão
Somando as duas partes (com e ) a integral geral dá

Passo 4

Agora avaliamos esse resultado de I=sinh(x)sin(kx)-kcosh(x)cos(kx)1+k^2|0^a a I =l[-k(-1)^ncosh(a)r]-l[-kr]1+k^2 =kl[1-(-1)^ncosh(a)r]1+k^2 . Definindo , temos
Em :
.
Como e , isso vira .
Em :
.
Logo

Passo 5

Voltando ao an =raiz2a;I =raiz2a;knl[1-(-1)^ncosh(a)r]1+kn^2, kn=npia :
1+kn^2=1+l(tfracnpiar)^2 =a^2+n^2pi^2a^2,
Para simplificar, note que
kn1+kn^2 =tfracnpiatfraca^2+n^2pi^2a^2 =npi,aa^2+n^2pi^2
então
an =raiz2a;npi,aa^2+n^2pi^2, l[1-(-1)^ncosh(a)r] =raiz2a;npia^2+n^2pi^2, l[1-(-1)^ncosh(a)r]
Logo

Resposta

Os coeficientes da expansão boxed an =raiz2a;npi,a^2+n^2pi^2,,l[,1-(-1)^ncosh(a)r] (n=1,2,dots) na base são

Exercícios relacionados