Suponha que temos um poço quadrado infinito de largura . As funções de onda que são as soluções da equação de Schrödinger são as funções base para um espaço de Hilbert definido sobre . Recordamos que essas funções base são dadas por:
Podemos expandir qualquer função em termos dessas funções base usando onde os coeficientes de expansão são encontrados usando:
Deixe onde cosh é a função cosseno hiperbólico. Encontre os coeficientes de expansão necessários para expressar em termos das funções base do poço quadrado.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um poço quântico de largura e as funções de onda do poço formam uma base ortonormal
E a gente quer expandir
nessa base, ou seja
com
Conteúdo: expansão em base ortonormal e cálculo de coeficiente pelo produto interno. Vamos precisar usar integração de .
Passo 2
Escrevendo direto o que precisamos calcular:
onde eu defini
Agora o desafio é resolver .
Passo 3
Para integrar , uma sacada é usar
e a fórmula-padrão
Somando as duas partes (com e ) a integral geral dá
Passo 4
Agora avaliamos esse resultado de a . Definindo , temos
Em : .
Como e , isso vira .
Em : .
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Passo 5
Voltando ao an =raiz2a;I =raiz2a;knl[1-(-1)^ncosh(a)r]1+kn^2, kn=npia :