Determine quais das seguintes funções pertencem ao espaço L2 :
f(x)=e^-x sin (pi x) para x >= 0, f(x)=0 caso contrário

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Determinar se a função
f(x)=  
  { e^{−x}·sin(πx),  se x≥0  
  { 0,              caso contrário  
pertence ao espaço integral-infty^+infty |f(x)|^2,dx < +infty . Isso é de teoria de espaços de funções , mais especificamente o . Para estar em , a condição é que
Ou seja, precisamos checar se a integral do quadrado de ao longo de toda a reta dá um número finito. Vamos usar cálculo de integrais impróprias e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, pelo formato de integral-infty^infty |f(x)|^2,dx =integral0^infty l|e^-xsin(pi x)r|^2,dx =integral0^infty e^-2x,sin^2(pi x),dx , vemos que fora de I=integral0^infty e^-2x,sin^2(pi x),dx ela é zero. Logo
Então nossa meta virou analisar se
é finito.

Passo 3

Para resolver isso, usamos a identidade trigonométrica
sin^2(pi x) =1-cos(2pi x)2
Substituindo em I =integral0^infty e^-2x,1-cos(2pi x)2,dx =12integral0^infty e^-2x,dx ;-;12integral0^infty e^-2xcos(2pi x),dx :

Passo 4

Agora dividimos em duas integrais conhecidas:
  1. integral0^infty e^-2x,dx =l[-tfrac12e^-2xr]0^infty =12 .
    É a integral de uma exponencial pura, que dá
    integral0^infty e^-axcos(bx),dx =aa^2+b^2, a>0
  2. integral0^infty e^-2xcos(2pi x),dx =22^2+(2pi)^2 =24+4pi^2 =12+2pi^2 .
    Existe uma fórmula padrão de transformada de Laplace para cosseno:
    Aqui e . Logo

Passo 5

Juntando tudo em I =12cdot12 ;-;12cdot12+2pi^2 =14 -12(2+2pi^2) =14 -14(1+pi^2) :
Para ver que isso é um número finito, basta notar que tanto quanto são finitos, então é finito.

Resposta

A integral é finita. Portanto, a função pertence ao espaço .

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