Determine quais das seguintes funções pertencem ao espaço : para caso contrário
Passo 1
Beleza, a questão diz: “Determinar se a função
f(x)=
{ e^{−x}·sin(πx), se x≥0
{ 0, caso contrário
pertence ao espaço . Isso é de teoria de espaços de funções , mais especificamente o . Para estar em , a condição é que
Ou seja, precisamos checar se a integral do quadrado de ao longo de toda a reta dá um número finito. Vamos usar cálculo de integrais impróprias e algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, pelo formato de , vemos que fora de ela é zero. Logo
Então nossa meta virou analisar se
é finito.
Passo 3
Para resolver isso, usamos a identidade trigonométrica
sin^2(pi x) =1-cos(2pi x)2
Substituindo em I =integral0^infty e^-2x,1-cos(2pi x)2,dx =12integral0^infty e^-2x,dx ;-;12integral0^infty e^-2xcos(2pi x),dx :
Passo 4
Agora dividimos em duas integrais conhecidas:
integral0^infty e^-2x,dx =l[-tfrac12e^-2xr]0^infty =12 .
É a integral de uma exponencial pura, que dá
integral0^infty e^-axcos(bx),dx =aa^2+b^2, a>0
integral0^infty e^-2xcos(2pi x),dx =22^2+(2pi)^2 =24+4pi^2 =12+2pi^2 .
Existe uma fórmula padrão de transformada de Laplace para cosseno:
Aqui e . Logo
Passo 5
Juntando tudo em I =12cdot12 ;-;12cdot12+2pi^2 =14 -12(2+2pi^2) =14 -14(1+pi^2) :
Para ver que isso é um número finito, basta notar que tanto quanto são finitos, então é finito.
Resposta
A integral é finita. Portanto, a função pertence ao espaço .