Determine se as seguintes funções reais de duas variáveis são contínuas no ponto (0,0) :
(a) g(x, y)=ccx^2 y2 x^2+3 y^2, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
g(x,y)= dfracx^2y2x^2+3y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 1,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta se ela é contínua em (0,0). Para isso precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)
e ver se esse limite coincide com g(0,0)=1.]

Passo 2

Lembrando que g é contínua em (0,0) somente se
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=g(0,0)=1
Se mostrarmos que o limite vale algum outro número (ou não existe), concluímos que g não é contínua.

Passo 3

Para avaliar o limite, note que para (x,y)neq(0,0) o denominador satisfaz
2x^2+3y^2;>=;2x^2
Logo, em módulo,
l|g(x,y)r| =|x^2y2x^2+3y^2| <=|x^2y|2x^2 =|y|2

Passo 4

Como |y|2to0 quando (x,y)to(0,0), pelo Teorema do Confronto temos
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)=0

Passo 5

O limite vale 0, mas g(0,0)=1. Portanto
lim(x,y)to(0,0)g(x,y)neq g(0,0),
e isso mostra que g não é contínua em (0,0).

Resposta

A função g não é contínua no ponto (0,0).

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