Determine se as seguintes funções reais de duas variáveis são contínuas no ponto
:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado define a função
e pergunta se ela é contínua em
(0,0) . Para isso precisamos calcular
e ver se esse limite coincide com
g(0,0)=1 .]
Passo 2
Lembrando que
g é contínua em
(0,0) somente se
Se mostrarmos que o limite vale algum outro número (ou não existe), concluímos que
g não é contínua.
Passo 3
Para avaliar o limite, note que para
(x,y)neq(0,0) o denominador satisfaz
Logo, em módulo,
Passo 4
Como
|y|2to0 quando
(x,y)to(0,0) , pelo Teorema do Confronto temos
Passo 5
O limite vale
0 , mas
g(0,0)=1 . Portanto
e isso mostra que
g não é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função
g não é contínua no ponto
(0,0) .