) Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.
( ) Se
é uma função crescente em
, então
.
( ) Se
é uma função tal que
então
assume valor negativo, valor positivo e valor zero em
.
( ) Considere
é uma função tal que
, se
trocar de sinal em
, então
, não possui raíz em
.
( ) Se
é uma função tal que
não trocar de sinal em
, então
possui uma única raíz em
.
( ) Se
é uma função tal que
, e
não troca de sinal em
, então
possui uma única raíz em
.
( ) Se
é uma função tal que
, com
, logo a função possui ponto crítico em
.
( ) Se
, é uma função tal que
, então
possui pelo menos uma raíz em
.
( ) Se
( ) Se
( ) Considere
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Se
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos marcar (V) ou (F) para sete afirmações sobre monotonicidade de funções, teorema do valor intermediário, raízes e comportamento de derivadas. O conteúdo envolve: relação entre monotonicidade e sinal de
, Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz, definição de ponto crítico e unicidade de raízes em funções monotônicas.
Passo 2
Afirmação 1: “Se
é crescente em
, então
.” Pela teoria, se
é crescente então
. Como diz
, a afirmação é falsa.
Passo 3
Afirmação 2: “Se
e
então
assume valor negativo, positivo e zero em
.” Contraexemplo:
em
tem
e
sempre. Logo não assume negativo nem zero. É falsa.
Passo 4
Afirmação 3: “Considere
. Se
troca de sinal em
, então
não possui raiz.” Pelo Teorema do Valor Intermediário,
já garante raiz em
, independente de
. Contraexemplo específico com
em
reforça que apesar de
trocar sinal, existe raiz. É falsa.
Passo 5
Afirmação 4: “Se
não troca de sinal em
, então
possui uma única raiz em
.”
sem troca de sinal torna
monotônica, garantindo no máximo uma raiz, mas não garante existência de nenhuma. Ex:
em
tem
e nenhuma raiz. É falsa.
Passo 6
Afirmação 5: “Se
e
não troca de sinal em
, então
possui uma única raiz.” Se
, não há garantia de cruzar o zero. Mesmo sendo monotônica, pode não ter raiz. É falsa.
Passo 7
Afirmação 6: “Se existe
com
, logo
possui ponto crítico em
.” Isso é exatamente a definição de ponto crítico. É verdadeira.
Passo 8
Afirmação 7: “Se
assume valores
,
e
em
, então
possui pelo menos uma raiz em
.” A troca de sinal da derivada só indica um extremo, não garante que
zere. É falsa.
Resposta
F, F, F, F, F, V, F