1^circ ) Marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.
( ) Se f: I R é uma função crescente em I, então f^prime(x) <= 0, forall x in I.
( ) Se f:[a, b] R é uma função tal que f(a) cdot f(b)<0 então f^prime(x) assume valor negativo, valor positivo e valor zero em [a, b].
( ) Considere f:[a, b] R é uma função tal que f(a) cdot f(b)<0, se f^prime(x) trocar de sinal em [a, b], então f, não possui raíz em [a, b].
( ) Se f:[a, b] R é uma função tal que f^prime(x) não trocar de sinal em [a, b], então f possui uma única raíz em [a, b].
( ) Se f:[a, b] R é uma função tal que f(a) cdot f(b)>0, e f^prime(x) não troca de sinal em [a, b], então f possui uma única raíz em [a, b].
( ) Se f:[a, b] R é uma função tal que exists x in(a, b), com f^prime(x)=0, logo a função possui ponto crítico em (a, b).
( ) Se f:[a, b] R, é uma função tal que f^prime(x)>0, f^prime(x)<0 e f^prime(x)=0 em(a, b), então f possui pelo menos uma raíz em [a, b].

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos marcar (V) ou (F) para sete afirmações sobre monotonicidade de funções, teorema do valor intermediário, raízes e comportamento de derivadas. O conteúdo envolve: relação entre monotonicidade e sinal de f', Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz, definição de ponto crítico e unicidade de raízes em funções monotônicas.

Passo 2

Afirmação 1: “Se f: I to R é crescente em I, então f'(x) <= 0, forall x.” Pela teoria, se f é crescente então f'(x) >= 0. Como diz <=0, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação 2: “Se f:[a,b]toR e f(a)f(b)<0 então f'(x) assume valor negativo, positivo e zero em [a,b].” Contraexemplo: f(x)=x em [-1,1] tem f(-1)f(1)<0 e f'(x)=1>0 sempre. Logo não assume negativo nem zero. É falsa.

Passo 4

Afirmação 3: “Considere f(a)f(b)<0. Se f'(x) troca de sinal em [a,b], então f não possui raiz.” Pelo Teorema do Valor Intermediário, f(a)f(b)<0 já garante raiz em [a,b], independente de f'. Contraexemplo específico com f(x)=x^3-x em [-2,-0.5] reforça que apesar de f' trocar sinal, existe raiz. É falsa.

Passo 5

Afirmação 4: “Se f' não troca de sinal em [a,b], então f possui uma única raiz em [a,b].” f' sem troca de sinal torna f monotônica, garantindo no máximo uma raiz, mas não garante existência de nenhuma. Ex: f(x)=x+2 em [-1,1] tem f'>0 e nenhuma raiz. É falsa.

Passo 6

Afirmação 5: “Se f(a)f(b)>0 e f' não troca de sinal em [a,b], então f possui uma única raiz.” Se f(a)f(b)>0, não há garantia de cruzar o zero. Mesmo sendo monotônica, pode não ter raiz. É falsa.

Passo 7

Afirmação 6: “Se existe xin(a,b) com f'(x)=0, logo f possui ponto crítico em (a,b).” Isso é exatamente a definição de ponto crítico. É verdadeira.

Passo 8

Afirmação 7: “Se f' assume valores >0, <0 e =0 em (a,b), então f possui pelo menos uma raiz em [a,b].” A troca de sinal da derivada só indica um extremo, não garante que f zere. É falsa.

Resposta

F, F, F, F, F, V, F

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