Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
rho <= 2, rho <= cossec phi
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule integral triplaE x^2 d V, onde E é limitado pelo plano x z e pelos hemisférios y=raiz9-x^2-z^2 e y=raiz16-x^2-z^2.

Passo 1

Então, manda ver: a gente tem duas partes.
  1. Esboçar o volume dado pelas desigualdades
    rho<=2 e rho<=cscphi
    usando coordenadas esféricas.
  2. Calcular
    integral triplaEx^2,dV,
    onde E é limitado pelo plano xz (ou seja, y=0) e pelos hemisférios
    y=raiz9-x^2-z^2 e y=raiz16-x^2-z^2.
    O assunto aqui é coordenadas esféricas e integral tripla, e vamos precisar lembrar das fórmulas
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
e do diferencial de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Beleza, pra esboçar o sólido rho<=2 e rho<=cscphi:
  • rho<=2 é só a esfera de raio 2.
  • rho<=cscphi é o mesmo que rho<=1/sinphi. Multiplicando por sinphi
    rhosinphi<=1, e rhosinphi é o raio cilíndrico r. Logo r<=1, ou seja, um cilindro de raio 1 ao longo do eixo z.
    O sólido é a interseção da esfera de raio 2 com esse cilindro. Imagina um cano de raio 1 atravessando o centro de uma bola de raio 2.

Passo 3

Agora, para a integral integral triplaEx^2,dV:
A região E está entre o plano xz ( y=0, queremos y>=0) e os hemisférios
y=raiz9-x^2-z^2(rho=3), y=raiz16-x^2-z^2(rho=4),
que são as metades “de cima” de esferas de raio 3 e 4.
Em esféricas, y=rhosinphisintheta>=0 thetain[0,pi].
O casco vai de rho=3 até rho=4.
phi percorre de 0 a pi (cobre todo o Z acima e abaixo).

Passo 4

Montando a integral em esféricas:
x^2 = (rhosinphicostheta)^2 = rho^2sin^2phicos^2theta, dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Então
integral triplaEx^2,dV =integraltheta=0^piintegralphi=0^piintegralrho=3^4 l(rho^2sin^2phicos^2thetar) ;l(rho^2sinphir) ,drho,dphi,dtheta =integral0^pi!!integral0^pi!!integral3^4 rho^4sin^3phicos^2theta ,drho,dphi,dtheta
Como os limites não se misturam, a gente separa em três integrais.

Passo 5

Calcule cada parte:
  1. integral3^4 rho^4,drho =l[tfracrho^55r]3^4 =tfrac4^5-3^55 =tfrac1024-2435 =tfrac7815
  2. integral0^pi sin^3phi,dphi = tfrac43
  3. integral0^pi cos^2theta,dtheta = tfracpi2
    Multiplicando:
7815times43timespi2 = 1562pi15

Resposta

1562pi15

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