Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule
, onde
é limitado pelo plano
e pelos hemisférios
.
Utilize coordenadas esféricas.
Calcule
Passo 1
Então, manda ver: a gente tem duas partes.
- Esboçar o volume dado pelas desigualdades
e
usando coordenadas esféricas. - Calcular
,
ondeé limitado pelo plano (ou seja, ) e pelos hemisférios
e .
O assunto aqui é coordenadas esféricas e integral tripla, e vamos precisar lembrar das fórmulas
e do diferencial de volume
Passo 2
Beleza, pra esboçar o sólido
e
:
-
é só a esfera de raio 2. -
é o mesmo que . Multiplicando por dá
, e é o raio cilíndrico . Logo , ou seja, um cilindro de raio 1 ao longo do eixo .
O sólido é a interseção da esfera de raio 2 com esse cilindro. Imagina um cano de raio 1 atravessando o centro de uma bola de raio 2.
Passo 3
Agora, para a integral
:
A região está entre o plano
(
, queremos
) e os hemisférios
A região
que são as metades “de cima” de esferas de raio 3 e 4.
Em esféricas, dá
.
O casco vai de até
.
percorre de
a
(cobre todo o Z acima e abaixo).
Em esféricas,
O casco vai de
Passo 4
Montando a integral em esféricas:
Então
Como os limites não se misturam, a gente separa em três integrais.
Passo 5
Calcule cada parte:
-
-
-
Multiplicando: