Determine se as seguintes funções reais de duas variáveis são contínuas no ponto (0,0) :
(b) f(x, y)=clx y2 x^2+x y+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= xy2x^2+xy+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para verificar se ela é contínua em (0,0). Para isso, precisamos checar se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
existe e é igual a f(0,0)=0.

Passo 2

Uma forma comum de testar limites de funções de duas variáveis é aproximar por retas y=mx. Substituindo y=mx em f (para xneq0) obtemos
fl(x,mxr) =x,(m x)2x^2+x,(m x)+(m x)^2 =m,x^2x^2(2+m+m^2) =m2+m+m^2

Passo 3

Note que m2+m+m^2 depende de m. Por exemplo, se m=0 (reta y=0) o limite vale
limxto0f(x,0)=0,
enquanto que, se m=1 (reta y=x), o limite é
limxto0fl(x,xr) =12+1+1 =14neq0

Passo 4

Como o valor do limite depende da direção m, o limite
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
não existe. Portanto, não se iguala a f(0,0)=0, e a função não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0).

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