Mostre que os seguintes subconjuntos do R^4 são subespaços vetoriais:
W=(x, y, z, t) in R^4: x+y=0 e z+t=0.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
W=(x,y,z,t)inR^4 mid x+y=0,;z+t=0
Queremos mostrar que W é subespaço vetorial de R^4. Para isso vamos usar a definição:
  1. Wneqemptyset,
  2. fechado sob soma de vetores,
  3. fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor nulo (0,0,0,0) pertence a W. De fato,
0+0=0 e 0+0=0,
logo (0,0,0,0)in W. Assim Wneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma. Seja
u=(x1,y1,z1,t1)in W, v=(x2,y2,z2,t2)in W
Então
x1+y1=0,;z1+t1=0, x2+y2=0,;z2+t2=0
Considere u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;t1+t2). Temos
(x1+x2)+(y1+y2) =(x1+y1)+(x2+y2) =0+0=0,
(z1+z2)+(t1+t2) =(z1+t1)+(z2+t2) =0+0=0
Logo u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e u=(x,y,z,t)in W, com x+y=0 e z+t=0. Então
alpha x+alpha y =alpha,(x+y) =alphacdot0 =0,
alpha z+alpha t =alpha,(z+t) =alphacdot0 =0
Portanto alpha uin W.

Passo 5

Como W é não-vazio, fechado em soma e fechado em múltiplo escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de R^4.

Resposta

W é subespaço vetorial de R^4.

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