Mostre que os seguintes subconjuntos do
são subespaços vetoriais:
e
.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
Queremos mostrar que
é subespaço vetorial de
. Para isso vamos usar a definição:
-
, - fechado sob soma de vetores,
- fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor nulo
pertence a
. De fato,
logo
. Assim
.
Passo 3
Fechamento sob soma. Seja
Então
Considere
. Temos
Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
e
, com
e
. Então
Portanto
.
Passo 5
Como
é não-vazio, fechado em soma e fechado em múltiplo escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.