Mostre que os seguintes subconjuntos do R^4 são subespaços vetoriais:
S=(x, y, z, t) in R^4: 2 x+y-t=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado define o subconjunto
S = l(x,y,z,t)inR^4mid 2x+y-t=0 e z=0r
Como S é dado pelas soluções de um sistema linear homogêneo em R^4, para mostrar que S é subespaço vetorial devemos verificar:
  1. O vetor zero pertence a S.
  2. S é fechado sob soma.
  3. S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0,0) satisfaz as duas equações que definem S:
2cdot 0 + 0 - 0 = 0 e z=0
Logo (0,0,0,0)in S.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam
u=(x1,y1,z1,t1), v=(x2,y2,z2,t2)
dois vetores em S. Então
2xi+yi-ti=0 e zi=0 (i=1,2)
Considere u+v=(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2,,t1+t2). Temos
2(x1+x2) + (y1+y2) - (t1+t2) = l(2x1+y1-t1r) + l(2x2+y2-t2r) = 0 + 0 = 0
e
z1+z2 = 0 + 0 = 0
Logo u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: seja alphainR e u=(x,y,z,t)in S. Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y,;alpha z,;alpha t)
Como 2x+y-t=0 e z=0, segue
2(alpha x)+(alpha y)-(alpha t) = alpha,(2x+y-t) = alphacdot 0 = 0
e
alpha z = alphacdot 0 = 0
Portanto alpha uin S.

Resposta

Concluímos que S contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Logo S é subespaço vetorial de R^4.

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