Mostre que os seguintes subconjuntos do
são subespaços vetoriais:
e
.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
Como
é dado pelas soluções de um sistema linear homogêneo em
, para mostrar que
é subespaço vetorial devemos verificar:
- O vetor zero pertence a
. -
é fechado sob soma. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero
satisfaz as duas equações que definem
:
Logo
.
Passo 3
Fechamento sob soma: sejam
dois vetores em
. Então
Considere
. Temos
e
Logo
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: seja
e
. Então
Como
e
, segue
e
Portanto
.
Resposta
Concluímos que
contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Logo
é subespaço vetorial de
.