Determine se as seguintes funçōes são contínuas em:
h(x)= x^2-4x-2, & se x neq 2 4, & se x=2

Passo 1

O enunciado apresenta a função por partes
h(x)= dfracx^2-4x-2, & xneq 2,[6pt] 4, & x=2,
e pede para verificar a continuidade de h. O conteúdo envolve definição de continuidade num ponto e cálculo de limite. Vamos analisar a continuidade em x=2 (o único ponto onde a definição muda) e depois em xneq2.]

Passo 2

Para xneq2, o numerador x^2-4 fatoriza como (x-2)(x+2), logo
x^2-4x-2 = x+2
Como x+2 é um polinômio, ele é contínuo em todo ponto de R. Logo h é contínua em todo xneq2.

Passo 3

Para testar continuidade em x=2, calculamos o limite
limxto2h(x) =limxto2x^2-4x-2 =limxto2(x+2) =2+2 =4

Passo 4

A definição de continuidade em x=2 exige que
  1. limxto2h(x) exista;
  2. h(2) esteja bem definido;
  3. limxto2h(x)=h(2).
    Aqui limxto2h(x)=4 e h(2)=4, portanto h é contínua em x=2.

Resposta

A função h é contínua para todo xinR.

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