Determine todos os pontos nos quais a função é contínua.
f(x, y)=cccx+yx^2+y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx+yx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis, usando limites e a propriedade de quociente de funções contínuas.

Passo 2

Se , então e tanto quanto são contínuas em . Logo o quociente
é contínuo em todo ponto em que o denominador não se anula. Portanto é contínua em .

Passo 3

Em (0,0) temos f(0,0)=0. Para verificar se há continuidade, calculamos
lim(x,y)to(0,0)x+yx^2+y^2
Pela reta y=x vem
f(x,x)=2x2x^2=1x,
que não tende a um valor finito quando xto0. Já pela reta y=-x temos
f(x,-x)=x-xx^2+x^2=0
Como alongar trajetórias diferentes dá comportamentos distintos (divergência numa e zero noutra), o limite não existe.

Passo 4

Como o limite não existe em (0,0), f não é contínua nesse ponto, mas é contínua em todo (x,y)neq(0,0).

Resposta

f é contínua em todos os pontos (x,y) tais que (x,y)neq(0,0).

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