Determine todos os pontos nos quais a função é contínua.
Passo 1
O enunciado define a função
O conteúdo envolvido é continuidade de funções de duas variáveis, usando limites e a propriedade de quociente de funções contínuas.
Passo 2
Se
, então
e tanto
quanto
são contínuas em . Logo o quociente
é contínuo em todo ponto em que o denominador não se anula. Portanto
é contínua em .
Passo 3
Em
(0,0) temos
f(0,0)=0 . Para verificar se há continuidade, calculamos
Pela reta
y=x vem
que não tende a um valor finito quando
xto0 . Já pela reta
y=-x temos
Como alongar trajetórias diferentes dá comportamentos distintos (divergência numa e zero noutra), o limite não existe.
Passo 4
Como o limite não existe em
(0,0) ,
f não é contínua nesse ponto, mas é contínua em todo
(x,y)neq(0,0) .