Encontre as áreas das regiões limitadas pelos
gráficos de f(x)=x^2 e g(x)=1-x^2 e h(x)=2.

Passo 1

O enunciado pede as áreas das regiões do plano fechadas pelas curvas
f(x)=x^2, g(x)=1-x^2 e h(x)=2.
Para cada par de curvas, primeiro achamos suas interseções e depois aplicamos o fato de que, se duas curvas y=u(x) e y=v(x) se cruzam em x=a e x=b e u(x)>= v(x) em [a,b], então a área entre elas é
integrala^bl(u(x)-v(x)r),dx

Passo 2

Interseção de f e g:
x^2 ;=;1 - x^2 ;Longrightarrow; 2x^2=1 ;Longrightarrow; x=pm1raiz2
Em l[-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r] temos g(x)>= f(x), logo
Afg =integral-1/raiz2^1/raiz2l(g(x)-f(x)r),dx =integral-1/raiz2^1/raiz2l((1-x^2)-x^2r),dx =integral-1/raiz2^1/raiz2l(1-2x^2r),dx
Pela simetria,
Afg =2integral0^1/raiz2(1-2x^2),dx =2l[x-tfrac2x^33r]0^1/raiz2 =2l(tfrac1raiz2-tfrac23,tfrac12raiz2r) =2l(tfrac1raiz2-tfrac13raiz2r) =2cdottfrac23raiz2 =43raiz2 =2raiz23

Passo 3

Interseção de f e h:
x^2=2 ;Longrightarrow; x=pmraiz2
Em l[-raiz2,raiz2r] vale h(x)>= f(x), então
Afh =integral-raiz2^raiz2l(h(x)-f(x)r),dx =integral-raiz2^raiz2(2-x^2),dx =2integral0^raiz2(2-x^2),dx =2l[2x-tfracx^33r]0^raiz2 =2l(2raiz2-tfrac(raiz2)^33r) =2l(2raiz2-tfrac2raiz23r) =2cdottfrac4raiz23 =8raiz23

Passo 4

As curvas g(x)=1-x^2 e h(x)=2 não se intersectam em pontos reais (pois 1-x^2=2 x^2=-1), logo não há região fechada só por g e h.

Resposta

A área da região entre f e g é
2raiz23,
e a área da região entre f e h é
8raiz23
Não existe região fechada só pelas curvas g e h.

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