Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em [-1,5] :
f(x)=1(x+2)^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=1(x+2)^2
é contínua por partes no intervalo [-1,5]. O conteúdo aqui é definição de função contínua por partes: basta mostrar que ela é contínua em cada parte do intervalo (ou seja, tem no máximo um número finito de pontos de descontinuidade onde existam limites laterais finitos).

Passo 2

Identificamos onde f não está definida: o denominador (x+2)^2 zera em x=-2. Mas -2 não pertence ao intervalo [-1,5]. Logo, em todo [-1,5] o denominador é não nulo e f está bem definida.

Passo 3

A função g(x)=x+2 é contínua em R e a função h(u)=1/u^2 é contínua em Rsetminus0. Logo, a composição
f(x)=hl(g(x)r)=1(x+2)^2
é contínua em todo o lugar onde g(x)neq0, isto é, em todo [-1,5].

Passo 4

Como não há nenhum ponto de descontinuidade dentro de [-1,5] e os extremos -1 e 5 são pontos em que f está definida e tem limites laterais iguais ao valor da função, concluímos que f é contínua (logo também contínua por partes) em [-1,5].

Resposta

A função é contínua por partes em [-1,5] (na verdade, é contínua em todo o intervalo sem quebra).

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