Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em [-1,5] :
f(x)=ll1 /(x-2)^2 & x>2 5 x^2 & x <= 2

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfrac1(x-2)^2,& x>2,[0.5em] 5x^2,& x<=2
em [-1,5] e pergunta se f é contínua por partes nesse intervalo. Para isso, vamos verificar (i) a continuidade de cada ramo em seus domínios e (ii) o comportamento em x=2, ponto de junção dos dois ramos.]

Passo 2

No ramo x<=2, temos
f(x)=5x^2
Como polinômios são funções contínuas em toda parte, 5x^2 é contínua em [-1,2].

Passo 3

No ramo x>2, temos
f(x)=1(x-2)^2
Trata-se de uma composição de funções contínuas ( xmapsto x-2, elevação ao quadrado e inversão) em todo o domínio (2,5]. Logo, esse ramo é contínuo em (2,5].

Passo 4

Agora, em x=2 precisamos checar os limites laterais:
- Limite pela esquerda:
limxto2^-f(x) =limxto2^-5x^2 =5cdot2^2 =20
- Limite pela direita:
limxto2^+f(x) =limxto2^+1(x-2)^2 =+infty
Como o limite pela direita diverge, não existe limite finito em x=2. Isso significa que f tem uma descontinuidade essencial (infinita) em x=2.

Resposta

A função f não é contínua por partes em [-1,5], pois apresenta descontinuidade infinita em x=2.

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