Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em :
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
f(x)= x & x<= 0, 4 & 0<x<2, x^2 & x>= 2
é contínua por partes em [-1,5]. Para isso lembramos que uma função é contínua por partes em [a,b] se existe uma partição finita do intervalo em que ela seja contínua em cada parte, e em cada ponto de “quebra” os limites laterais existem e são finitos.
Passo 2
Dividimos o domínio [-1,5] em três subintervalos conforme a definição de f: [-1,0], (0,2) e [2,5]. Em cada um deles f é dada por um polinômio (x ou x^2) ou por uma constante (4), e polinômios e constantes são contínuos em qualquer intervalo aberto. Logo f é contínua internamente a cada subintervalo.
Como limites laterais coincidem com f(2), f é contínua em x=2.
Passo 5
Nos extremos do intervalo temos apenas continuidade unilateral. Em x=-1 limxto-1^+f(x)=f(-1)=-1, e em x=5 limxto5^-f(x)=f(5)=5^2=25. Portanto há continuidade nos extremos.
Passo 6
Concluímos que f é contínua em cada subintervalo, com apenas um ponto de descontinuidade de primeira espécie (em x=0) e limites laterais finitos em todos os pontos de quebra.