Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em [-1,5] :
f(x)=lrx^2 & x >= 2 4 & 0<x<2 x & x <= 0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)= x & x<= 0, 4 & 0<x<2, x^2 & x>= 2
é contínua por partes em [-1,5]. Para isso lembramos que uma função é contínua por partes em [a,b] se existe uma partição finita do intervalo em que ela seja contínua em cada parte, e em cada ponto de “quebra” os limites laterais existem e são finitos.

Passo 2

Dividimos o domínio [-1,5] em três subintervalos conforme a definição de f:
[-1,0], (0,2) e [2,5]. Em cada um deles f é dada por um polinômio ( x ou x^2) ou por uma constante ( 4), e polinômios e constantes são contínuos em qualquer intervalo aberto. Logo f é contínua internamente a cada subintervalo.

Passo 3

Verificamos o ponto de quebra x=0.
limxto0^-f(x)=limxto0^-x=0, limxto0^+f(x)=limxto0^+4=4
Ambos os limites existem e são finitos, mas são diferentes, logo há descontinuidade de primeira espécie (salto) em x=0.

Passo 4

Verificamos o ponto de quebra x=2.
limxto2^-f(x)=limxto2^-4=4, limxto2^+f(x)=limxto2^+x^2=4, f(2)=2^2=4
Como limites laterais coincidem com f(2), f é contínua em x=2.

Passo 5

Nos extremos do intervalo temos apenas continuidade unilateral. Em x=-1
limxto-1^+f(x)=f(-1)=-1, e em x=5
limxto5^-f(x)=f(5)=5^2=25. Portanto há continuidade nos extremos.

Passo 6

Concluímos que f é contínua em cada subintervalo, com apenas um ponto de descontinuidade de primeira espécie (em x=0) e limites laterais finitos em todos os pontos de quebra.

Resposta

Sim, f é contínua por partes em [-1,5].

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