Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em :
f(x)=\left{\right.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é contínua por partes em [-1,5]. Isso significa mostrar que existe uma partição finita de [-1,5] em subintervalos onde f é contínua, admitindo no máximo um número finito de pontos de descontinuidade.
Passo 2
Analisamos cada ramo separadamente:
Para x<= 0, f(x)=x é polinomial, logo contínua em todo (-infty,0].
Para 0<x<2, f(x)=4 é constante, portanto contínua em todo (0,2).
Para x>=2, f(x)=x^2 é polinomial, logo contínua em todo [2,infty).
Passo 3
Verificamos a continuidade em x=0. limxto0^-f(x)=limxto0^-x=0, limxto0^+f(x)=limxto0^+4=4.
Como os limites laterais são distintos, f tem descontinuidade de salto em x=0.
Passo 4
Verificamos a continuidade em x=2. limxto2^-f(x)=limxto2^-4=4, limxto2^+f(x)=limxto2^+x^2=4,
e pelo ramo x>=2 temos f(2)=2^2=4.
Como os limites laterais coincidem com f(2), f é contínua em x=2.
Resposta
Sim. A função é contínua em cada um dos intervalos [-1,0), (0,2) e (2,5], possuindo apenas uma descontinuidade de salto em x=0, logo é contínua por partes em [-1,5].