Determine se as seguintes funções são contínuas por partes em [-1,5] :
f(x)=\left{ lrx^2 & x >= 2 4 & 0<x<2 x & x <= 0\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)= x^2, & x>= 2, 4, & 0<x<2, x, & x<= 0
é contínua por partes em [-1,5]. Isso significa mostrar que existe uma partição finita de [-1,5] em subintervalos onde f é contínua, admitindo no máximo um número finito de pontos de descontinuidade.

Passo 2

Analisamos cada ramo separadamente:
  • Para x<= 0, f(x)=x é polinomial, logo contínua em todo (-infty,0].
  • Para 0<x<2, f(x)=4 é constante, portanto contínua em todo (0,2).
  • Para x>=2, f(x)=x^2 é polinomial, logo contínua em todo [2,infty).

Passo 3

Verificamos a continuidade em x=0.
limxto0^-f(x)=limxto0^-x=0,
limxto0^+f(x)=limxto0^+4=4.
Como os limites laterais são distintos, f tem descontinuidade de salto em x=0.

Passo 4

Verificamos a continuidade em x=2.
limxto2^-f(x)=limxto2^-4=4,
limxto2^+f(x)=limxto2^+x^2=4,
e pelo ramo x>=2 temos f(2)=2^2=4.
Como os limites laterais coincidem com f(2), f é contínua em x=2.

Resposta

Sim. A função é contínua em cada um dos intervalos [-1,0), (0,2) e (2,5], possuindo apenas uma descontinuidade de salto em x=0, logo é contínua por partes em [-1,5].

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