Prove que f(x)=cos 7 x é de ordem exponencial alpha para todo alpha >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=cos(7x), definida para x>=0, satisfaz a condição de ordem exponencial alpha para todo alpha>=0. Isto está no contexto de transformada de Laplace, onde dizemos que f é de ordem exponencial alpha se existem constantes M>0 e x0>=0 tais que, para todo x>= x0,
|f(x)|<= M e^alpha x

Passo 2

Vamos usar o fato clássico de que o cosseno é sempre limitado em módulo por 1. Então, para todo x>=0,
|cos(7x)|<= 1

Passo 3

Dada uma ordem exponencial arbitrária alpha>=0, note que para x>=0 temos
e^alpha x>= e^0=1
Logo,
1 <= e^alpha x

Passo 4

Basta escolher M=1 e x0=0. De fato, para todo x>= x0=0 vale
|cos(7x)|<= 1 = M <= M e^alpha x,
o que prova que f(x)=cos(7x) é de ordem exponencial alpha.

Resposta

A função f(x)=cos(7x) é de ordem exponencial alpha para todo alpha>=0.

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