Prove que
é de ordem exponencial
para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
, definida para
, satisfaz a condição de ordem exponencial
para todo
. Isto está no contexto de transformada de Laplace, onde dizemos que
é de ordem exponencial
se existem constantes
e
tais que, para todo
,
Passo 2
Vamos usar o fato clássico de que o cosseno é sempre limitado em módulo por
. Então, para todo
,
Passo 3
Dada uma ordem exponencial arbitrária
, note que para
temos
Logo,
Passo 4
Basta escolher
e
. De fato, para todo
vale
o que prova que
é de ordem exponencial
.
Resposta
A função
é de ordem exponencial
para todo
.